Решение: Законы сохранения в механике, Вариант 1

Хорошо, давайте решим задачи по порядку. Тест №7 Законы сохранения в механике Вариант 1 1. Согласно теореме о кинетической энергии работа силы равна изменению кинетической энергии. 2. Найти модуль импульса \(p\) каждой тележки. Найти кинетическую энергию \(E_k\) каждой тележки. На рисунке 1 изображены две тележки. Тележка 1: масса \(m_1 = 1\) кг, скорость \(v_1 = 3\) м/с. Тележка 2: масса \(m_2 = 2\) кг, скорость \(v_2 = 1\) м/с. Для тележки 1: Импульс: \(p_1 = m_1 \cdot v_1 = 1 \text{ кг} \cdot 3 \text{ м/с} = 3 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\) Кинетическая энергия: \(E_{k1} = \frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{1 \text{ кг} \cdot (3 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{1 \cdot 9}{2} = 4.5 \text{ Дж}\) Для тележки 2: Импульс: \(p_2 = m_2 \cdot v_2 = 2 \text{ кг} \cdot 1 \text{ м/с} = 2 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\) Кинетическая энергия: \(E_{k2} = \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{2 \text{ кг} \cdot (1 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{2 \cdot 1}{2} = 1 \text{ Дж}\) Ответы: \(p_1 = 3 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\) \(E_{k1} = 4.5 \text{ Дж}\) \(p_2 = 2 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\) \(E_{k2} = 1 \text{ Дж}\) 3. Если при столкновении тележек, изображенных на рис. 1, произойдет их сцепление, то после взаимодействия они будут двигаться вправо / влево. Для определения направления движения после абсолютно неупругого столкновения (сцепления) нужно найти суммарный импульс системы до столкновения. Направление движения тележки 1: вправо. Направление движения тележки 2: влево. Примем направление вправо за положительное. Импульс тележки 1: \(p_1 = m_1 v_1 = 1 \text{ кг} \cdot 3 \text{ м/с} = 3 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\) Импульс тележки 2: \(p_2 = -m_2 v_2 = -2 \text{ кг} \cdot 1 \text{ м/с} = -2 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\) (знак минус, так как движется влево) Суммарный импульс системы до столкновения: \(P_{общ} = p_1 + p_2 = 3 \text{ кг} \cdot \text{м/с} + (-2 \text{ кг} \cdot \text{м/с}) = 1 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\) Так как суммарный импульс положительный (\(P_{общ} > 0\)), то после столкновения тележки будут двигаться вправо. Ответ: вправо. 4. Какую работу \(A\) надо совершить, чтобы: А) Кинетическая энергия левой тележки (рис.1) уменьшилась в 3 раза? Левая тележка - это тележка 1. Ее начальная кинетическая энергия \(E_{k1} = 4.5 \text{ Дж}\). Чтобы кинетическая энергия уменьшилась в 3 раза, она должна стать \(E'_{k1} = \frac{E_{k1}}{3} = \frac{4.5 \text{ Дж}}{3} = 1.5 \text{ Дж}\). Работа \(A\) равна изменению кинетической энергии: \(A = E'_{k1} - E_{k1} = 1.5 \text{ Дж} - 4.5 \text{ Дж} = -3 \text{ Дж}\). Отрицательное значение работы означает, что работа совершается против движения тележки, то есть внешняя сила совершает отрицательную работу, или тележка совершает положительную работу. В данном случае, чтобы уменьшить энергию, нужно совершить работу, равную по модулю 3 Дж, направленную против движения. Ответ: \(A = -3 \text{ Дж}\) (или 3 Дж, если имеется в виду модуль работы, которую нужно совершить, чтобы уменьшить энергию). Б) Скорость правой тележки увеличилась в три раза? Правая тележка - это тележка 2. Ее начальная скорость \(v_2 = 1 \text{ м/с}\). Чтобы скорость увеличилась в 3 раза, она должна стать \(v'_2 = 3 \cdot v_2 = 3 \cdot 1 \text{ м/с} = 3 \text{ м/с}\). Начальная кинетическая энергия \(E_{k2} = 1 \text{ Дж}\). Конечная кинетическая энергия: \(E'_{k2} = \frac{m_2 (v'_2)^2}{2} = \frac{2 \text{ кг} \cdot (3 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{2 \cdot 9}{2} = 9 \text{ Дж}\). Работа \(A\) равна изменению кинетической энергии: \(A = E'_{k2} - E_{k2} = 9 \text{ Дж} - 1 \text{ Дж} = 8 \text{ Дж}\). Ответ: \(A = 8 \text{ Дж}\) 5. Под действием постоянной силы \(F = 1\) Н тело движется с постоянной скоростью \(v = 2\) м/с. Найти работу этой силы за 3 с. Так как тело движется с постоянной скоростью, это означает, что равнодействующая всех сил равна нулю. Если сила \(F = 1\) Н действует на тело, то должна быть другая сила, равная по модулю 1 Н и направленная в противоположную сторону (например, сила трения). Работа силы \(A = F \cdot S\), где \(S\) - пройденное расстояние. Расстояние \(S = v \cdot t = 2 \text{ м/с} \cdot 3 \text{ с} = 6 \text{ м}\). Работа силы \(F\): \(A = F \cdot S = 1 \text{ Н} \cdot 6 \text{ м} = 6 \text{ Дж}\). Ответ: \(A = 6 \text{ Дж}\) 6. Если жесткость пружины \(k\) увеличить в два раза, то при том же удлинении \(x\) её потенциальная энергия увеличится/уменьшится в ___ раз. Потенциальная энергия упруго деформированной пружины определяется формулой: \(E_p = \frac{k x^2}{2}\). Если жесткость \(k\) увеличить в два раза, то новая жесткость будет \(k' = 2k\). При том же удлинении \(x\), новая потенциальная энергия будет: \(E'_p = \frac{k' x^2}{2} = \frac{(2k) x^2}{2} = 2 \cdot \frac{k x^2}{2} = 2 E_p\). Таким образом, потенциальная энергия увеличится в 2 раза. Ответ: увеличится в 2 раз. 7. Кубик массой 100 г соскользнул с вершины полусферы радиуса \(R = 40\) см. Найти работу силы тяжести. Масса кубика \(m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}\). Радиус полусферы \(R = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}\). Работа силы тяжести при перемещении тела зависит только от начальной и конечной высоты и не зависит от траектории. Начальная высота кубика (на вершине полусферы) относительно основания: \(h_{нач} = R\). Конечная высота кубика (у основания полусферы): \(h_{кон} = 0\). Работа силы тяжести: \(A_g = m g (h_{нач} - h_{кон}) = m g (R - 0) = m g R\). Примем \(g \approx 10 \text{ м/с}^2\). \(A_g = 0.1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.4 \text{ м} = 1 \text{ Н} \cdot 0.4 \text{ м} = 0.4 \text{ Дж}\). Ответ: \(A = 0.4 \text{ Дж}\) 8. Найти разности потенциальных энергий \(E_p\) кубиков 1, 2, 3, если их масса по 1 кг. Масса каждого кубика \(m = 1 \text{ кг}\). Высоты кубиков относительно нулевого уровня (поверхности, на которой стоит кубик 3): Высота кубика 1: \(h_1 = 50 \text{ см} + 20 \text{ см} = 70 \text{ см} = 0.7 \text{ м}\). Высота кубика 2: \(h_2 = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}\). Высота кубика 3: \(h_3 = 0 \text{ м}\). Потенциальная энергия: \(E_p = mgh\). Примем \(g \approx 10 \text{ м/с}^2\). \(E_{p1} = mgh_1 = 1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.7 \text{ м} = 7 \text{ Дж}\). \(E_{p2} = mgh_2 = 1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.2 \text{ м} = 2 \text{ Дж}\). \(E_{p3} = mgh_3 = 1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0 \text{ м} = 0 \text{ Дж}\). А. \(E_{p1} - E_{p2} = 7 \text{ Дж} - 2 \text{ Дж} = 5 \text{ Дж}\). Б. \(E_{p3} - E_{p2} = 0 \text{ Дж} - 2 \text{ Дж} = -2 \text{ Дж}\). В. \(E_{p1} - E_{p3} = 7 \text{ Дж} - 0 \text{ Дж} = 7 \text{ Дж}\). Ответы: А. \(E_{p1} - E_{p2} = 5 \text{ Дж}\) Б. \(E_{p3} - E_{p2} = -2 \text{ Дж}\) В. \(E_{p1} - E_{p3} = 7 \text{ Дж}\) 9. Тело свободно падает с высоты \(h\). Сравнить кинетические \(E_k\) и потенциальные \(E_p\) энергии тела в положениях 1 и 2. Положение 1: тело находится на высоте \(h\). Положение 2: тело находится на высоте \(h/2\). При свободном падении без учета сопротивления воздуха полная механическая энергия сохраняется: \(E_{полн} = E_k + E_p = \text{const}\). В положении 1 (начальное): Скорость \(v_1 = 0\) (свободно падает, значит, начальная скорость равна нулю). Кинетическая энергия \(E_{k1} = 0\). Потенциальная энергия \(E_{p1} = mgh\). Полная энергия \(E_{полн} = mgh\). В положении 2 (на высоте \(h/2\)): Потенциальная энергия \(E_{p2} = mg \frac{h}{2}\). Из закона сохранения энергии: \(E_{k2} + E_{p2} = E_{полн}\). \(E_{k2} + mg \frac{h}{2} = mgh\). \(E_{k2} = mgh - mg \frac{h}{2} = mg \frac{h}{2}\). Теперь сравним энергии: А. \(E_{k1}\) и \(E_{k2}\) \(E_{k1} = 0\), \(E_{k2} = mg \frac{h}{2}\). Значит, \(E_{k1} < E_{k2}\). Б. \(E_{k1}\) и \(E_{p1}\) \(E_{k1} = 0\), \(E_{p1} = mgh\). Значит, \(E_{k1} < E_{p1}\). В. \(E_{p1}\) и \(E_{p2}\) \(E_{p1} = mgh\), \(E_{p2} = mg \frac{h}{2}\). Значит, \(E_{p1} > E_{p2}\). Г. \(E_{k2}\) и \(E_{p2}\) \(E_{k2} = mg \frac{h}{2}\), \(E_{p2} = mg \frac{h}{2}\). Значит, \(E_{k2} = E_{p2}\). Ответы: А. \(E_{k1} < E_{k2}\) Б. \(E_{k1} < E_{p1}\) В. \(E_{p1} > E_{p2}\) Г. \(E_{k2} = E_{p2}\)