Решение задач ЕГЭ (база) - примеры с подробным объяснением

Ниже представлены решения задач из варианта ЕГЭ по базовой математике. Задача 1. 1) Найдём стоимость 3 кг помидоров в гривнах: \[ 3 \cdot 4 = 12 \text{ гривен} \] 2) Переведём стоимость в рубли (1 гривна = 3 руб. 70 коп. = 3,7 руб.): \[ 12 \cdot 3,7 = 44,4 \text{ рубля} \] 3) Округлим до целого числа: 44. Ответ: 44. Задача 2. Сопоставим величины и значения: А) Скорость автомобиля — 2) 60 км/час. Б) Скорость пешехода — 4) 4 км/час. В) Скорость улитки — 1) 0,5 м/мин. Г) Скорость звука — 3) 330 м/сек. Ответ: 2413. Задача 3. Владислав пришёл в 18:20. Ему нужно уехать в Тверь (в столбце "Тверь" должно быть время прибытия). Электрички №1, 5, 6 не идут до Твери. Электричка №2 уходит в 17:46 (уже ушла). Электричка №3 уходит в 18:10 (уже ушла). Электричка №4 уходит в 18:15 (уже ушла). Электричка №7 уходит в 19:21 — это ближайшая. Ответ: 7. Задача 4. Подставим значения \( a=3, b=9, c=4\sqrt{6} \) в формулу: \[ l_c = \frac{1}{3+9} \sqrt{3 \cdot 9 \cdot ((3+9)^2 - (4\sqrt{6})^2)} \] \[ l_c = \frac{1}{12} \sqrt{27 \cdot (144 - 16 \cdot 6)} \] \[ l_c = \frac{1}{12} \sqrt{27 \cdot (144 - 96)} = \frac{1}{12} \sqrt{27 \cdot 48} \] \[ l_c = \frac{1}{12} \sqrt{1296} = \frac{36}{12} = 3 \] Ответ: 3. Задача 5. Событие: А. выиграет первую партию (белыми, \( P_1 = 0,52 \)) И вторую партию (черными, \( P_2 = 0,3 \)). \[ P = 0,52 \cdot 0,3 = 0,156 \] Ответ: 0,156. Задача 6. Посчитаем время для каждого варианта: 1) Автобус: \( 15 \text{ мин} + 2 \text{ ч } 15 \text{ мин} + 5 \text{ мин} = 2 \text{ ч } 35 \text{ мин} \). 2) Электричка: \( 25 \text{ мин} + 1 \text{ ч } 45 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 2 \text{ ч } 30 \text{ мин} \). 3) Такси: \( 25 \text{ мин} + 1 \text{ ч } 35 \text{ мин} + 40 \text{ мин} = 2 \text{ ч } 40 \text{ мин} \). Наименьшее время: 2,5 часа. Ответ: 2,5. Задача 7. Угловой коэффициент \( k \) — это тангенс угла наклона. А) Убывает круто: \( k = -5 \) (вариант 2). Б) Убывает плавно: \( k = - \frac{4}{3} \) (вариант 1, так как \( -1,33 \)). В) Возрастает плавно: \( k = 0,8 \) (вариант 3). Г) Возрастает под 45 градусов: \( k = 1 \) (вариант 4). Ответ: 2134. Задача 8. Из утверждения "Спектр ртутной лампы — линейчатый" следует: 1) Да (это пересказ условия). 4) Да (если спектр линейчатый, лампа может оказаться ртутной). Ответ: 14. Задача 9. Площадь озера Глухое. Считаем целые клетки (примерно 2) и частичные. Суммарно получается около 3-4 клеток. Ответ: 3 (или 4, зависит от строгости сетки, обычно 3). Задача 10. Столб \( l \) является средней линией трапеции: \[ l = \frac{h_1 + h_2}{2} = \frac{1,5 + 2,5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] Ответ: 2. Задача 11. Объём детали равен объёму вытесненной воды. \[ V_{воды} = S_{осн} \cdot h_1 \Rightarrow 2300 = S_{осн} \cdot 25 \Rightarrow S_{осн} = 92 \] \[ V_{детали} = S_{осн} \cdot (h_2 - h_1) = 92 \cdot (27 - 25) = 92 \cdot 2 = 184 \] Ответ: 184. Задача 12. Угол между высотой и биссектрисой в прямоугольном треугольнике равен: \[ \alpha = \frac{| \angle A - \angle B |}{2} = \frac{85 - 5}{2} = 40 \] Ответ: 40. Задача 13. \[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \] \[ 16 = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 4) \cdot H \Rightarrow 16 = 4H \Rightarrow H = 4 \] Ответ: 4. Задача 14. \[ \frac{24}{7} : \frac{12}{21} - 1,7 = \frac{24}{7} \cdot \frac{21}{12} - 1,7 = 2 \cdot 3 - 1,7 = 6 - 1,7 = 4,3 \] Ответ: 4,3. Задача 15. Мария получила 87% от зарплаты (100% - 13%). \[ 0,87 \cdot X = 9570 \Rightarrow X = \frac{9570}{0,87} = 11000 \] Ответ: 11000. Задача 16. \[ \log_5 0,2 + \log_{0,5} 4 = \log_5 5^{-1} + \log_{2^{-1}} 2^2 = -1 + \frac{2}{-1} = -1 - 2 = -3 \] Ответ: -3. Задача 17. \[ \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{5} \Rightarrow \sqrt{x} = 5 \Rightarrow x = 25 \] Ответ: 25. Задача 18. А) \( \log_2 x > 1 \Rightarrow x > 2^1 \Rightarrow x > 2 \) (2) Б) \( \log_2 x > -1 \Rightarrow x > 2^{-1} \Rightarrow x > 0,5 \) (3) В) \( \log_2 x < 1 \Rightarrow 0 < x < 2 \) (4) Г) \( \log_2 x < -1 \Rightarrow 0 < x < 0,5 \) (1) Ответ: 2341. Задача 19. Число 578. Сумма цифр: \( 5+7+8 = 20 \). Сумма квадратов: \( 25+49+64 = 138 \). 138 делится на 3 (\( 1+3+8=12 \)), но не на 9. Ответ: 578. Задача 20. Пусть \( x \) — масса 1-го сплава, \( y \) — масса 2-го. \[ x + y = 200 \] \[ 0,1x + 0,3y = 0,25 \cdot 200 = 50 \] Из первого \( x = 200 - y \). Подставим: \[ 0,1(200 - y) + 0,3y = 50 \Rightarrow 20 - 0,1y + 0,3y = 50 \Rightarrow 0,2y = 30 \Rightarrow y = 150 \] Тогда \( x = 200 - 150 = 50 \). Разница: \( 150 - 50 = 100 \). Ответ: 100. Задача 21. Пусть \( x \) — верных, \( y \) — неверных, \( z \) — без ответа. \[ 7x - 10y + 0z = 42 \] \[ x + y + z = 25, \text{ при этом } y \ge 1 \] Если \( y=1 \): \( 7x - 10 = 42 \Rightarrow 7x = 52 \) (нет целых). Если \( y=2 \): \( 7x - 20 = 42 \Rightarrow 7x = 62 \) (нет целых). Если \( y=3 \): \( 7x - 30 = 42 \Rightarrow 7x = 72 \) (нет целых). Если \( y=4 \): \( 7x - 40 = 42 \Rightarrow 7x = 82 \) (нет целых). Если \( y=5 \): \( 7x - 50 = 42 \Rightarrow 7x = 92 \) (нет целых). Если \( y=6 \): \( 7x - 60 = 42 \Rightarrow 7x = 102 \) (нет целых). Если \( y=7 \): \( 7x - 70 = 42 \Rightarrow 7x = 112 \Rightarrow x = 16 \). Проверка: \( 16 + 7 = 23 \le 25 \) (подходит, \( z=2 \)). Ответ: 16.