schoolГеометрия
verifiedРешено AI
Доказательство перпендикулярности AC и (MBC)
help_outlineУсловие задачи
Реши задачу: реши всё Реши задачу: через вершину с прямоугольного треугольника абс с гипотенузой аб проведена прямая мс перпендикулярная плоскости треугольника докажиье что прямая ас перпендикулярна плоскости мбс
lightbulbКраткий ответ
Чтобы доказать, что AC перпендикулярна (MBC), нужно показать, что AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости, BC и MC. Из условия прямоугольного треугольника и перпендикулярности MC к плоскости (ABC) следует требуемое.
Подробное решение
Вот решение задачи, оформленное для записи в школьную тетрадь.
\[ \text{Задача} \]
Дано:
\(\triangle ABC\) — прямоугольный;
\(AB\) — гипотенуза;
\(MC \perp (ABC)\).
Доказать:
\(AC \perp (MBC)\).
Доказательство:
1) По условию \(\triangle ABC\) является прямоугольным с гипотенузой \(AB\). Это означает, что угол при вершине \(C\) прямой, то есть:
\[ AC \perp BC \]
2) По условию прямая \(MC\) перпендикулярна плоскости треугольника \(ABC\). Согласно определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как прямая \(AC\) лежит в плоскости \((ABC)\), то:
\[ MC \perp AC \text{ или } AC \perp MC \]
3) Мы получили, что прямая \(AC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(BC\) и \(MC\), которые лежат в плоскости \((MBC)\):
\[ AC \perp BC, \quad AC \perp MC, \quad BC \cap MC = C \]
4) По признаку перпендикулярности прямой и плоскости (если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости), следует:
\[ AC \perp (MBC) \]
Что и требовалось доказать.