Решение задачи: Орбитальная скорость электрона в атоме водорода

Ниже представлено решение задачи №2, оформленное для переписывания в тетрадь. Задача №2. Исходя из теории Бора, найти формулу для орбитальной скорости электрона в атоме водорода на произвольном энергетическом уровне. Сравнить орбитальную скорость электрона на низшем энергетическом уровне со скоростью света. Дано: \( Z = 1 \) (для водорода) \( n \) — номер уровня Найти: \( v_n \), \( \frac{v_1}{c} \) Решение: 1. Согласно второму постулату Бора, момент импульса электрона на круговой орбите квантуется: \[ m_e v_n r_n = n \hbar \] где \( \hbar = \frac{h}{2\pi} \) — приведенная постоянная Планка, \( m_e \) — масса электрона, \( v_n \) — скорость на \( n \)-й орбите, \( r_n \) — радиус орбиты. Отсюда выразим радиус: \[ r_n = \frac{n \hbar}{m_e v_n} \quad (1) \] 2. На электрон, движущийся по окружности, действует кулоновская сила со стороны ядра, которая является центростремительной: \[ \frac{m_e v_n^2}{r_n} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r_n^2} \] Сократим на \( m_e \) и \( r_n \): \[ v_n^2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m_e r_n} \quad (2) \] 3. Подставим выражение для \( r_n \) из формулы (1) в формулу (2): \[ v_n^2 = \frac{e^2 \cdot m_e v_n}{4\pi\epsilon_0 m_e n \hbar} \] Сократим на \( v_n \) и \( m_e \): \[ v_n = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 n \hbar} \] Это и есть искомая формула для скорости на произвольном уровне \( n \). 4. Сравним скорость на первом уровне (\( n = 1 \)) со скоростью света \( c \). Отношение \( \frac{v_1}{c} \) называется постоянной тонкой структуры \( \alpha \): \[ \alpha = \frac{v_1}{c} = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar c} \] Подставим численные значения констант: \( e \approx 1,6 \cdot 10^{-19} \) Кл \( \epsilon_0 \approx 8,85 \cdot 10^{-12} \) Ф/м \( \hbar \approx 1,05 \cdot 10^{-34} \) Дж·с \( c \approx 3 \cdot 10^8 \) м/с \[ \frac{v_1}{c} \approx \frac{1}{137} \approx 0,0073 \] Таким образом, скорость электрона на первом уровне примерно в 137 раз меньше скорости света. Ответ: \( v_n = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 n \hbar} \); скорость на низшем уровне составляет \( \frac{1}{137} \) от скорости света.