Решение задачи №3: Вычисление разрешающей силы для серии Пашена

Ниже представлено решение задачи №3, оформленное для переписывания в тетрадь. Задача №3. Вычислить необходимую минимальную разрешающую силу спектрального прибора для разрешения двух линий серии Пашена. Дано: Серия Пашена (\( m = 3 \)) Линии: \( n_1 = 4 \), \( n_2 = 5 \) (две ближайшие линии серии) Найти: \( R \) Решение: 1. Разрешающая сила спектрального прибора определяется формулой: \[ R = \frac{\lambda}{\Delta \lambda} \] где \( \lambda \) — средняя длина волны, \( \Delta \lambda \) — разность длин волн между соседними линиями. 2. Длина волны в спектре водорода определяется формулой Ридберга: \[ \frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} \right) \] где \( R_H \) — постоянная Ридберга, \( m = 3 \) для серии Пашена, а \( n \) принимает значения \( 4, 5, 6... \) 3. Найдем длины волн для первых двух линий серии (\( n_1 = 4 \) и \( n_2 = 5 \)): Для первой линии (\( n = 4 \)): \[ \frac{1}{\lambda_1} = R_H \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R_H \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R_H \frac{16 - 9}{144} = \frac{7}{144} R_H \] \[ \lambda_1 = \frac{144}{7 R_H} \] Для второй линии (\( n = 5 \)): \[ \frac{1}{\lambda_2} = R_H \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{5^2} \right) = R_H \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{25} \right) = R_H \frac{25 - 9}{225} = \frac{16}{225} R_H \] \[ \lambda_2 = \frac{225}{16 R_H} \] 4. Вычислим разность длин волн \( \Delta \lambda = \lambda_1 - \lambda_2 \) (так как \( \lambda_1 > \lambda_2 \)): \[ \Delta \lambda = \frac{1}{R_H} \left( \frac{144}{7} - \frac{225}{16} \right) = \frac{1}{R_H} \left( \frac{2304 - 1575}{112} \right) = \frac{729}{112 R_H} \] 5. Для расчета разрешающей силы возьмем \( \lambda \approx \lambda_1 \): \[ R = \frac{\lambda_1}{\Delta \lambda} = \frac{144 / (7 R_H)}{729 / (112 R_H)} = \frac{144}{7} \cdot \frac{112}{729} \] Сократим дробь: \[ R = \frac{144 \cdot 16}{729} = \frac{2304}{729} \approx 3,16 \] Примечание: Обычно под "разрешением двух линий серии" в задачах такого типа подразумевают разрешение самых близких линий с очень большими номерами \( n \) (границы серии), либо конкретных первых линий. Если рассматривать линии с очень большими \( n \), разрешающая сила должна быть значительно выше. Однако для первых двух линий серии Пашена расчет выглядит так. Ответ: \( R \approx 3,16 \) (для первых двух линий).