Вариант №1
Задача 1
Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 5 см. Найдите гипотенузу треугольника.Дано:
Треугольник ABC – прямоугольный.
Катет \(a = 12\) см
Катет \(b = 5\) см
Найти: гипотенузу \(c\).
Рисунок:
Нарисуем прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой. Катет AC = 5 см, катет BC = 12 см. Гипотенуза AB.
(Здесь должен быть рисунок прямоугольного треугольника с обозначенными катетами и гипотенузой)
Решение:
Для нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Формула теоремы Пифагора:
\[c^2 = a^2 + b^2\]Подставим известные значения катетов в формулу:
\[c^2 = 12^2 + 5^2\] \[c^2 = 144 + 25\] \[c^2 = 169\]Чтобы найти гипотенузу \(c\), извлечем квадратный корень из 169:
\[c = \sqrt{169}\] \[c = 13\]Таким образом, гипотенуза треугольника равна 13 см.
Ответ: 13 см.
Задача 2
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны по 15 см, основание равно 24 см. Найдите длину высоты треугольника, проведённую к основанию.Дано:
Треугольник ABC – равнобедренный.
Боковые стороны \(AB = BC = 15\) см
Основание \(AC = 24\) см
Найти: высоту \(BH\), проведённую к основанию.
Рисунок:
Нарисуем равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Из вершины B опустим высоту BH на основание AC. Высота BH также является медианой в равнобедренном треугольнике, поэтому она делит основание AC пополам.
(Здесь должен быть рисунок равнобедренного треугольника с проведенной высотой к основанию)
Решение:
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Это означает, что она делит основание пополам.
Значит, \(AH = HC = \frac{AC}{2}\).
Подставим значение основания:
\[AH = \frac{24}{2} = 12\]Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (или CBH). В этом треугольнике:
Гипотенуза \(AB = 15\) см (боковая сторона равнобедренного треугольника).
Катет \(AH = 12\) см (половина основания).
Катет \(BH\) – это искомая высота.
Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ABH:
\[AB^2 = AH^2 + BH^2\]Подставим известные значения:
\[15^2 = 12^2 + BH^2\] \[225 = 144 + BH^2\]Выразим \(BH^2\):
\[BH^2 = 225 - 144\] \[BH^2 = 81\]Чтобы найти \(BH\), извлечем квадратный корень из 81:
\[BH = \sqrt{81}\] \[BH = 9\]Таким образом, длина высоты, проведённой к основанию, равна 9 см.
Ответ: 9 см.
Задача 3
В треугольнике ABC, высота AK делит основание BC на отрезки \(BK = 2\sqrt{3}\) см и \(KC = 8\) см, угол ABC равен \(60^\circ\). Найдите боковые стороны треугольника ABC.Дано:
Треугольник ABC.
Высота AK.
\(BK = 2\sqrt{3}\) см
\(KC = 8\) см
Угол \(ABC = 60^\circ\)
Найти: боковые стороны \(AB\) и \(AC\).
Рисунок:
Нарисуем треугольник ABC. Из вершины A опустим высоту AK на сторону BC. Точка K лежит на отрезке BC. Отметим отрезки BK и KC. Отметим угол B = \(60^\circ\).
(Здесь должен быть рисунок треугольника ABC с высотой AK и обозначенными отрезками и углом)
Решение:
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK (так как AK – высота, то угол AKB = \(90^\circ\)).
В этом треугольнике нам известны:
Катет \(BK = 2\sqrt{3}\) см.
Угол \(B = 60^\circ\).
Мы можем найти катет AK и гипотенузу AB, используя тригонометрические соотношения.
Для угла \(B\):
Тангенс угла B – это отношение противолежащего катета к прилежащему:
\[\tan(B) = \frac{AK}{BK}\] \[\tan(60^\circ) = \frac{AK}{2\sqrt{3}}\]Мы знаем, что \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\).
\[\sqrt{3} = \frac{AK}{2\sqrt{3}}\]Отсюда найдем AK:
\[AK = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}\] \[AK = 2 \cdot (\sqrt{3})^2\] \[AK = 2 \cdot 3\] \[AK = 6\]Итак, высота \(AK = 6\) см.
Теперь найдем гипотенузу AB (первая боковая сторона) с помощью косинуса угла B:
Косинус угла B – это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
\[\cos(B) = \frac{BK}{AB}\] \[\cos(60^\circ) = \frac{2\sqrt{3}}{AB}\]Мы знаем, что \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\).
\[\frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{AB}\]Отсюда найдем AB:
\[AB = 2 \cdot 2\sqrt{3}\] \[AB = 4\sqrt{3}\]Итак, боковая сторона \(AB = 4\sqrt{3}\) см.
2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AKC (так как AK – высота, то угол AKC = \(90^\circ\)).
В этом треугольнике нам известны:
Катет \(AK = 6\) см (мы его нашли).
Катет \(KC = 8\) см (дано).
Мы можем найти гипотенузу AC (вторая боковая сторона) с помощью теоремы Пифагора:
\[AC^2 = AK^2 + KC^2\]Подставим известные значения:
\[AC^2 = 6^2 + 8^2\] \[AC^2 = 36 + 64\] \[AC^2 = 100\]Чтобы найти AC, извлечем квадратный корень из 100:
\[AC = \sqrt{100}\] \[AC = 10\]Итак, боковая сторона \(AC = 10\) см.
Ответ: \(AB = 4\sqrt{3}\) см, \(AC = 10\) см.