Решение задачи о прямоугольном параллелепипеде

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. Задание 4 Дано: Прямоугольный параллелепипед. \(DB_1 = 6\), \(AD = \sqrt{2}\), \(\angle DB_1C = 45^\circ\). Найти: \(AA_1\). Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(DB_1C\). В этом треугольнике угол \(\angle DCB_1 = 90^\circ\), так как \(DC\) перпендикулярно плоскости \(BCC_1B_1\), а значит, \(DC\) перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе \(B_1C\). По условию, \(\angle DB_1C = 45^\circ\). Следовательно, \(\angle CDB_1 = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Так как углы при основании \(DB_1\) равны, треугольник \(DB_1C\) является равнобедренным. Значит, \(DC = B_1C\). 2. В прямоугольном треугольнике \(DB_1C\) мы можем найти длины сторон \(DC\) и \(B_1C\) через гипотенузу \(DB_1\). \[\sin(\angle DB_1C) = \frac{DC}{DB_1}\] \[\sin(45^\circ) = \frac{DC}{6}\] \[\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{DC}{6}\] \[DC = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\] Так как \(DC = B_1C\), то \(B_1C = 3\sqrt{2}\). 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BCC_1\). В этом треугольнике \(BC\) и \(CC_1\) - катеты, \(B_1C\) - гипотенуза. Мы знаем, что \(CC_1 = AA_1\) (высота параллелепипеда). Также, \(BC = AD\) (стороны основания параллелепипеда). По условию, \(AD = \sqrt{2}\), значит \(BC = \sqrt{2}\). По теореме Пифагора для треугольника \(BCC_1\): \[BC^2 + CC_1^2 = B_1C^2\] \[(\sqrt{2})^2 + AA_1^2 = (3\sqrt{2})^2\] \[2 + AA_1^2 = 9 \cdot 2\] \[2 + AA_1^2 = 18\] \[AA_1^2 = 18 - 2\] \[AA_1^2 = 16\] \[AA_1 = \sqrt{16}\] \[AA_1 = 4\] Ответ: \(AA_1 = 4\). Задание 5 Дано: Прямоугольный параллелепипед. \(DB_1 = 8\), \(\angle BDB_1 = 30^\circ\), \(\angle CDB_1 = 45^\circ\). Найти: \(AD\). Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BDB_1\). В этом треугольнике угол \(\angle DBD_1 = 90^\circ\), так как \(BB_1\) перпендикулярно плоскости основания \(ABCD\), а значит, \(BB_1\) перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе \(BD\). По условию, \(\angle BDB_1 = 30^\circ\). Мы можем найти катеты \(BD\) и \(BB_1\) через гипотенузу \(DB_1\). \[\cos(\angle BDB_1) = \frac{BD}{DB_1}\] \[\cos(30^\circ) = \frac{BD}{8}\] \[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BD}{8}\] \[BD = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\] \[\sin(\angle BDB_1) = \frac{BB_1}{DB_1}\] \[\sin(30^\circ) = \frac{BB_1}{8}\] \[\frac{1}{2} = \frac{BB_1}{8}\] \[BB_1 = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\] Так как \(AA_1 = BB_1\), то \(AA_1 = 4\). 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(CDB_1\). В этом треугольнике угол \(\angle DCB_1 = 90^\circ\), так как \(DC\) перпендикулярно плоскости \(BCC_1B_1\), а значит, \(DC\) перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе \(B_1C\). По условию, \(\angle CDB_1 = 45^\circ\). Мы можем найти катет \(DC\) через гипотенузу \(DB_1\). \[\cos(\angle CDB_1) = \frac{DC}{DB_1}\] \[\cos(45^\circ) = \frac{DC}{8}\] \[\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{DC}{8}\] \[DC = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\] 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABD\) (или \(BCD\)). В основании прямоугольного параллелепипеда лежит прямоугольник, поэтому \(\angle DAB = 90^\circ\). В треугольнике \(ABD\), \(AB\) и \(AD\) - катеты, \(BD\) - гипотенуза. Мы знаем, что \(AB = DC\) (противоположные стороны прямоугольника). Значит, \(AB = 4\sqrt{2}\). По теореме Пифагора для треугольника \(ABD\): \[AD^2 + AB^2 = BD^2\] \[AD^2 + (4\sqrt{2})^2 = (4\sqrt{3})^2\] \[AD^2 + 16 \cdot 2 = 16 \cdot 3\] \[AD^2 + 32 = 48\] \[AD^2 = 48 - 32\] \[AD^2 = 16\] \[AD = \sqrt{16}\] \[AD = 4\] Ответ: \(AD = 4\).