Решение задач по алгебре

Ниже представлено решение задач из вашего домашнего задания, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. Упростите выражение: \[ \frac{(a-6)^2 + 4(a-6) + 4}{a-4} \] Решение: Заметим, что в числителе находится формула квадрата суммы \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \), где \( x = (a-6) \), а \( y = 2 \). \[ \frac{((a-6) + 2)^2}{a-4} = \frac{(a-4)^2}{a-4} = a-4 \] Ответ: \( a-4 \) Задание 2. Найдите значение выражения: \[ \left( \frac{25x^3}{a^7} \right)^2 \cdot \left( \frac{a^4}{5x^2} \right)^3 \] Решение: \[ \frac{25^2 \cdot (x^3)^2}{(a^7)^2} \cdot \frac{(a^4)^3}{5^3 \cdot (x^2)^3} = \frac{625 \cdot x^6}{a^{14}} \cdot \frac{a^{12}}{125 \cdot x^6} \] Сокращаем \( x^6 \) и числа 625 и 125: \[ \frac{5 \cdot a^{12}}{a^{14}} = \frac{5}{a^2} \] Ответ: \( \frac{5}{a^2} \) Задание 3. Найдите значение выражения: \[ \frac{6(a^2b)^3}{a^6b^4} \] Решение: \[ \frac{6 \cdot a^6 \cdot b^3}{a^6 \cdot b^4} = \frac{6}{b} \] Ответ: \( \frac{6}{b} \) Задание 4. Найдите значение выражения: \[ \frac{x^2 + 10x + 25}{x^2 - 9} : \frac{4x + 20}{2x + 6} \] Решение: Разложим на множители и заменим деление умножением на обратную дробь: \[ \frac{(x+5)^2}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{2(x+3)}{4(x+5)} \] Сокращаем \( (x+5) \), \( (x+3) \) и числа 2 и 4: \[ \frac{x+5}{x-3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{x+5}{2(x-3)} \] Ответ: \( \frac{x+5}{2x-6} \) Задание 6. Найдите значение выражения: \[ \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 25} : \frac{2x + 4}{6x + 30} \] Решение: \[ \frac{(x+2)^2}{(x-5)(x+5)} \cdot \frac{6(x+5)}{2(x+2)} \] Сокращаем \( (x+2) \), \( (x+5) \) и числа 6 и 2: \[ \frac{x+2}{x-5} \cdot 3 = \frac{3(x+2)}{x-5} \] Ответ: \( \frac{3x+6}{x-5} \) Задание 7. Найдите значение выражения: \[ \frac{x^3y + xy^3}{2(y-x)} \cdot \frac{5(x-y)}{x^2 + y^2} \] Решение: Вынесем общий множитель \( xy \) в первой дроби и учтем, что \( (x-y) = -(y-x) \): \[ \frac{xy(x^2 + y^2)}{2(y-x)} \cdot \frac{-5(y-x)}{x^2 + y^2} \] Сокращаем \( (x^2 + y^2) \) и \( (y-x) \): \[ \frac{xy \cdot (-5)}{2} = -2,5xy \] Ответ: \( -2,5xy \)