Решение задач по математике. Вариант 5

Вариант 5. Задание 1. Вычислить: \(\log_{6} 2 + \log_{6} 3 + 2^{\log_{2} 4}\). Решение: 1) Используем свойство суммы логарифмов: \(\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (b \cdot c)\). \(\log_{6} 2 + \log_{6} 3 = \log_{6} (2 \cdot 3) = \log_{6} 6 = 1\). 2) Используем основное логарифмическое тождество: \(a^{\log_{a} b} = b\). \(2^{\log_{2} 4} = 4\). 3) Складываем результаты: \(1 + 4 = 5\). Ответ: Г) 5. Задание 2. Какое из данных чисел является положительным? Решение: Логарифм \(\log_{a} b\) положителен, если \(a\) и \(b\) одновременно либо больше 1, либо меньше 1 (лежат по одну сторону от единицы). А) \(\log_{8} 0,78\): \(8 > 1\), а \(0,78 < 1\) — число отрицательное. Б) \(\log_{\frac{1}{8}} 4,4\): \(\frac{1}{8} < 1\), а \(4,4 > 1\) — число отрицательное. В) \(\log_{3} \frac{9}{15}\): \(3 > 1\), а \(\frac{9}{15} < 1\) — число отрицательное. Г) \(\log_{\frac{1}{4}} 0,5\): \(\frac{1}{4} < 1\) и \(0,5 < 1\) — число положительное. Ответ: Г). Задание 3. Какое неравенство является верным? Решение: А) \(\log_{\frac{1}{5}} 5,5 < \log_{\frac{1}{5}} 4,8\). Основание \(\frac{1}{5} < 1\), функция убывающая. Значит, при \(5,5 > 4,8\) должно быть \(\log_{\frac{1}{5}} 5,5 < \log_{\frac{1}{5}} 4,8\). Это верно. Ответ: А). Задание 4. Решите уравнение \(\log_{0,7} (2,7 - 3x) = 1\). Решение: По определению логарифма: \(2,7 - 3x = 0,7^{1}\) \(2,7 - 3x = 0,7\) \(-3x = 0,7 - 2,7\) \(-3x = -2\) \(x = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}\) Ответ: Г) 2/3. Задание 5. Решите неравенство \(\log_{3} (4 - 2x) \geq 1\). Решение: Так как основание \(3 > 1\), функция возрастает, знак неравенства сохраняется: \[ \begin{cases} 4 - 2x \geq 3^1 \\ 4 - 2x > 0 \end{cases} \] \[ \begin{cases} -2x \geq 3 - 4 \\ -2x > -4 \end{cases} \] \[ \begin{cases} -2x \geq -1 \\ x < 2 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x \leq 0,5 \\ x < 2 \end{cases} \] Итого: \(x \in (-\infty; 0,5]\). Ответ: А). Задание 6. Решите уравнение \(\lg 1 + \lg (3 + x) = \lg (7 - x)\). Решение: Так как \(\lg 1 = 0\), уравнение принимает вид: \(\lg (3 + x) = \lg (7 - x)\) ОДЗ: \[ \begin{cases} 3 + x > 0 \\ 7 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -3 \\ x < 7 \end{cases} \] Переходим к равенству аргументов: \(3 + x = 7 - x\) \(x + x = 7 - 3\) \(2x = 4\) \(x = 2\) (входит в ОДЗ). Ответ: 2. Задание 7. Решите неравенство \(\log_{\frac{1}{2}} (7x - 21) > \log_{\frac{1}{2}} (6x)\). Решение: Основание \(\frac{1}{2} < 1\), функция убывает, меняем знак неравенства: \[ \begin{cases} 7x - 21 < 6x \\ 7x - 21 > 0 \\ 6x > 0 \end{cases} \] \[ \begin{cases} 7x - 6x < 21 \\ 7x > 21 \\ x > 0 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x < 21 \\ x > 3 \\ x > 0 \end{cases} \] Ответ: \(x \in (3; 21)\).