Решение задачи 3.51

Решение задачи 3.51 Дано: \(P_1 = P_2 = 45\) Н — вес грузов; \(P_3 = P_4 = 18\) Н — вес блоков; \(g \approx 9,81\) м/с\(^2\) — ускорение свободного падения. Найти: \(a_1\) — ускорение первого груза. Решение: Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме: \[ \frac{d T}{d t} = \sum P_i^{ext} \] где \(T\) — кинетическая энергия системы, \(\sum P_i^{ext}\) — мощность внешних сил. 1. Выразим массы тел: \(m_1 = m_2 = \frac{P_1}{g}\) \(m_3 = m_4 = \frac{P_3}{g}\) Так как массы блоков распределены по ободам, их моменты инерции равны: \(J_3 = m_3 R^2\), \(J_4 = m_4 r^2\) (примем радиусы блоков за \(R\) и \(r\)). 2. Кинематические связи: Пусть скорость груза 1 равна \(v_1\). Тогда: - Скорость груза 2: \(v_2 = v_1\) (связаны нитью через неподвижный блок 3). - Угловая скорость блока 3: \(\omega_3 = \frac{v_1}{R}\). - Скорость центра подвижного блока 4: \(v_C = \frac{v_1}{2}\) (так как один конец нити закреплен, а второй движется со скоростью \(v_1\)). - Угловая скорость блока 4: \(\omega_4 = \frac{v_1}{2r}\). 3. Кинетическая энергия системы \(T\): \[ T = T_1 + T_2 + T_3 + T_4 \] \[ T_1 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 \] \[ T_2 = \frac{1}{2} m_2 v_1^2 \] \[ T_3 = \frac{1}{2} J_3 \omega_3^2 = \frac{1}{2} (m_3 R^2) (\frac{v_1}{R})^2 = \frac{1}{2} m_3 v_1^2 \] \[ T_4 = \frac{1}{2} m_4 v_C^2 + \frac{1}{2} J_4 \omega_4^2 = \frac{1}{2} m_4 (\frac{v_1}{2})^2 + \frac{1}{2} (m_4 r^2) (\frac{v_1}{2r})^2 = \frac{1}{8} m_4 v_1^2 + \frac{1}{8} m_4 v_1^2 = \frac{1}{4} m_4 v_1^2 \] Суммарная кинетическая энергия: \[ T = \frac{1}{2} v_1^2 (m_1 + m_2 + m_3 + 0,5 m_4) \] Подставим значения масс через веса: \[ T = \frac{v_1^2}{2g} (P_1 + P_2 + P_3 + 0,5 P_4) \] \[ T = \frac{v_1^2}{2 \cdot 9,81} (45 + 45 + 18 + 9) = \frac{117}{19,62} v_1^2 \approx 5,963 v_1^2 \] 4. Мощность внешних сил: Силы тяжести груза 1 и блока 4 совершают положительную работу (движение вниз), груза 2 — отрицательную (движение вверх). \[ \sum P^{ext} = P_1 v_1 - P_2 v_1 + P_4 v_C = 45 v_1 - 45 v_1 + 18 \cdot \frac{v_1}{2} = 9 v_1 \] 5. Составим уравнение: \[ \frac{d}{dt} (5,963 v_1^2) = 9 v_1 \] \[ 2 \cdot 5,963 \cdot v_1 \cdot \frac{dv_1}{dt} = 9 v_1 \] Так как \(a_1 = \frac{dv_1}{dt}\): \[ 11,926 \cdot a_1 = 9 \] \[ a_1 = \frac{9}{11,926} \cdot g / g \] Если подставить точные дроби: \[ a_1 = \frac{0,5 P_4 \cdot g}{P_1 + P_2 + P_3 + 0,5 P_4} = \frac{9 \cdot 9,81}{45 + 45 + 18 + 9} = \frac{88,29}{117} \approx 4,43 \text{ м/с}^2 \] Ответ: \(a_1 = 4,43\) м/с\(^2\) (вниз).