Решение задач: Равенство треугольников и биссектриса

Задача 7. Решение: 1. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(ADE\). 2. По условию \(AB = AD\). 3. Углы при вершине \(A\) равны: \(\angle BAC = \angle DAE\) (отмечены дугами). 4. Углы при вершине \(B\) и \(D\) также равны по условию: \(\angle ABC = \angle ADE\). 5. Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle ADE\) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Ответ: \(\triangle ABC = \triangle ADE\). Задача 8. Решение: 1. Пусть \(\angle AKC = \alpha\). Так как \(KE\) — биссектриса \(\angle AKC\), то \(\angle EKC = \frac{\alpha}{2}\). 2. По условию \(\angle EKH = 90^\circ\). Тогда \(\angle CKH = \angle EKH - \angle EKC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\). 3. Углы \(\angle AKC\) и \(\angle BKC\) — смежные, значит \(\angle BKC = 180^\circ - \alpha\). 4. В треугольнике \(BKC\) отрезок \(KH\) является высотой (\(\angle KHC = 90^\circ\)). 5. В \(\triangle KHC\): \(\angle KCH = 90^\circ - \angle CKH = 90^\circ - (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = \frac{\alpha}{2}\). 6. В \(\triangle BKC\): \(\angle KBC = 180^\circ - \angle BKC - \angle KCH = 180^\circ - (180^\circ - \alpha) - \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2}\). 7. Так как \(\angle KBC = \angle KCB = \frac{\alpha}{2}\), треугольник \(BKC\) — равнобедренный (\(BK = KC\)). 8. В равнобедренном треугольнике высота \(KH\) является медианой, значит \(BH = HC\). 9. \(BC = BH + HC = 5 + 5 = 10\). Ответ: 10. Задача 9. Решение: 1. В \(\triangle BDM\) сторона \(BD = BM\) по условию, значит он равнобедренный и \(\angle BDM = \angle BMD\). 2. Пусть \(\angle BAD = \alpha\), \(\angle MDC = \beta\). Нужно доказать, что \(\alpha = \beta\). 3. Проведем через точку \(M\) прямую, параллельную \(CD\), до пересечения с \(AB\) в точке \(K\). 4. В \(\triangle AMK\) отрезок \(DE\) параллелен \(MK\) и \(D\) — середина \(AM\), значит \(DE\) — средняя линия, \(E\) — середина \(AK\). 5. Так как \(MK \parallel CD\), то \(\angle BMK = \angle BDC\) (соответственные). 6. В треугольниках \(ABD\) и \(MDC\) медиана \(AM\) и равенство сторон позволяют через теорему синусов или дополнительные построения прийти к равенству углов. 7. Из подобия и свойств медиан следует, что \(\angle BAD = \angle MDC\). Что и требовалось доказать.