Задача 1. В процессе преобразования растрового графического файла количество цветов уменьшилось с 256 до 16. Во сколько раз уменьшился информационный объём файла?
Решение:
Для начала вспомним формулу, которая связывает количество цветов в палитре (N) и глубину цвета (i):
\[N = 2^i\]Глубина цвета (i) – это количество бит, которое требуется для кодирования одного пикселя.
1. Определим глубину цвета для исходного файла (256 цветов):
\[256 = 2^{i_1}\]Мы знаем, что \(2^8 = 256\), значит, \(i_1 = 8\) бит.
2. Определим глубину цвета для преобразованного файла (16 цветов):
\[16 = 2^{i_2}\]Мы знаем, что \(2^4 = 16\), значит, \(i_2 = 4\) бита.
3. Информационный объём файла (I) рассчитывается по формуле:
\[I = K \cdot i\]где K – количество пикселей в изображении, i – глубина цвета.
Поскольку количество пикселей (K) в файле не изменилось, информационный объём файла прямо пропорционален глубине цвета.
4. Найдем, во сколько раз уменьшился информационный объём файла:
Отношение информационных объёмов будет равно отношению глубин цвета:
\[\frac{I_1}{I_2} = \frac{K \cdot i_1}{K \cdot i_2} = \frac{i_1}{i_2}\] \[\frac{I_1}{I_2} = \frac{8 \text{ бит}}{4 \text{ бита}} = 2\]Ответ: Информационный объём файла уменьшился в 2 раза.
Задача 2. Для хранения растрового изображения размером 1024 * 512 пикселей отвели 256 Кб памяти. Каково максимально возможное число цветов в палитре изображения?
Решение:
1. Определим общее количество пикселей (K) в изображении:
\[K = 1024 \cdot 512\] \[K = 2^{10} \cdot 2^9 = 2^{19} \text{ пикселей}\]2. Переведем объем памяти (I) из Килобайт в биты:
1 Кб = 1024 байта
1 байт = 8 бит
\[I = 256 \text{ Кб} = 256 \cdot 1024 \text{ байт} = 256 \cdot 1024 \cdot 8 \text{ бит}\] \[I = 2^8 \cdot 2^{10} \cdot 2^3 \text{ бит} = 2^{21} \text{ бит}\]3. Вспомним формулу для информационного объёма изображения:
\[I = K \cdot i\]где i – глубина цвета (количество бит на пиксель).
Выразим i из этой формулы:
\[i = \frac{I}{K}\] \[i = \frac{2^{21} \text{ бит}}{2^{19} \text{ пикселей}} = 2^{2} \text{ бит/пиксель} = 4 \text{ бит/пиксель}\]4. Определим максимально возможное число цветов (N) в палитре, используя глубину цвета (i):
\[N = 2^i\] \[N = 2^4 = 16 \text{ цветов}\]Ответ: Максимально возможное число цветов в палитре изображения – 16.
Задача 3. Для хранения растрового изображения размером 128 * 128 пикселя отвели 4 Кб памяти. Каково максимально возможное число цветов в палитре изображения?
Решение:
1. Определим общее количество пикселей (K) в изображении:
\[K = 128 \cdot 128\] \[K = 2^7 \cdot 2^7 = 2^{14} \text{ пикселей}\]2. Переведем объем памяти (I) из Килобайт в биты:
\[I = 4 \text{ Кб} = 4 \cdot 1024 \text{ байт} = 4 \cdot 1024 \cdot 8 \text{ бит}\] \[I = 2^2 \cdot 2^{10} \cdot 2^3 \text{ бит} = 2^{15} \text{ бит}\]3. Найдем глубину цвета (i):
\[i = \frac{I}{K}\] \[i = \frac{2^{15} \text{ бит}}{2^{14} \text{ пикселей}} = 2^{1} \text{ бит/пиксель} = 2 \text{ бит/пиксель}\]4. Определим максимально возможное число цветов (N) в палитре:
\[N = 2^i\] \[N = 2^2 = 4 \text{ цвета}\]Ответ: Максимально возможное число цветов в палитре изображения – 4.
Задача 4. Цветное с палитрой из 256 цветов растровое изображение имеет размер 100 * 100 точек. Какой информационный объём имеет изображение?
Решение:
1. Определим глубину цвета (i) для палитры из 256 цветов:
\[N = 2^i\] \[256 = 2^i\]Мы знаем, что \(2^8 = 256\), значит, \(i = 8\) бит.
2. Определим общее количество пикселей (K) в изображении:
\[K = 100 \cdot 100 = 10000 \text{ пикселей}\]3. Рассчитаем информационный объём (I) изображения:
\[I = K \cdot i\] \[I = 10000 \text{ пикселей} \cdot 8 \text{ бит/пиксель} = 80000 \text{ бит}\]4. Переведем биты в более удобные единицы, например, в байты или Килобайты:
В байтах:
\[I = \frac{80000 \text{ бит}}{8 \text{ бит/байт}} = 10000 \text{ байт}\]В Килобайтах:
\[I = \frac{10000 \text{ байт}}{1024 \text{ байт/Кб}} \approx 9.765625 \text{ Кб}\]Обычно в таких задачах оставляют ответ в байтах или битах, если не требуется округление или конкретная единица измерения.
Ответ: Информационный объём изображения составляет 80000 бит или 10000 байт.
Задача 5. Определите информационный объём растрового изображения размером 1024 * 768 пикселей, состоящего из 64 цветов.
Решение:
1. Определим глубину цвета (i) для изображения, состоящего из 64 цветов:
\[N = 2^i\] \[64 = 2^i\]Мы знаем, что \(2^6 = 64\), значит, \(i = 6\) бит.
2. Определим общее количество пикселей (K) в изображении:
\[K = 1024 \cdot 768 \text{ пикселей}\]Для удобства можно представить 1024 как \(2^{10}\).
\[K = 2^{10} \cdot 768 \text{ пикселей}\]3. Рассчитаем информационный объём (I) изображения:
\[I = K \cdot i\] \[I = (1024 \cdot 768) \cdot 6 \text{ бит}\] \[I = 786432 \cdot 6 \text{ бит}\] \[I = 4718592 \text{ бит}\]4. Переведем биты в байты:
\[I = \frac{4718592 \text{ бит}}{8 \text{ бит/байт}} = 589824 \text{ байт}\]5. Переведем байты в Килобайты:
\[I = \frac{589824 \text{ байт}}{1024 \text{ байт/Кб}} = 576 \text{ Кб}\]Ответ: Информационный объём изображения составляет 4718592 бит, или 589824 байт, или 576 Кб.