Решение задачи: Брусок на наклонной плоскости

Ниже представлены решения задач №10, №11 и №12, оформленные для записи в тетрадь. Задача 10. Дано: \(m = 3 \text{ кг}\) \(\alpha = 30^\circ\) \(\mu = 0,3\) \(g = 10 \text{ м/с}^2\) Найти: \(a\) — ?, \(F_{тр}\) — ? Решение: 1. На брусок действуют: сила тяжести \(m\vec{g}\), сила реакции опоры \(\vec{N}\) и сила трения \(\vec{F}_{тр}\). 2. Максимальная сила трения покоя (и сила трения скольжения): \[F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos \alpha\] \[F_{тр} = 0,3 \cdot 3 \cdot 10 \cdot \cos 30^\circ = 9 \cdot 0,866 \approx 7,8 \text{ Н}\] 3. Скатывающая сила (проекция силы тяжести на ось вдоль плоскости): \[F_{ск} = mg \sin \alpha = 3 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ = 30 \cdot 0,5 = 15 \text{ Н}\] Так как \(F_{ск} > F_{тр}\), брусок скользит вниз. 4. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось движения: \[ma = mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha\] \[a = g(\sin \alpha - \mu \cos \alpha)\] \[a = 10 \cdot (0,5 - 0,3 \cdot 0,866) = 10 \cdot (0,5 - 0,26) = 2,4 \text{ м/с}^2\] Ответ: \(a = 2,4 \text{ м/с}^2\), \(F_{тр} \approx 7,8 \text{ Н}\). Задача 11. Дано: \(T = \text{const}\) \(P_2 = \frac{P_1}{2}\) \(V_1 = 10 \text{ л} = 0,01 \text{ м}^3\) \(S = 300 \text{ см}^2 = 0,03 \text{ м}^2\) Найти: \(\Delta h\) — ? Решение: 1. Согласно закону Бойля-Мариотта для изотермического процесса: \[P_1 V_1 = P_2 V_2\] Так как давление уменьшилось вдвое (\(P_2 = 0,5 P_1\)), объем должен увеличиться вдвое: \[V_2 = \frac{P_1 V_1}{0,5 P_1} = 2 V_1 = 2 \cdot 10 = 20 \text{ л}\] 2. Изменение объема \(\Delta V\): \[\Delta V = V_2 - V_1 = 20 - 10 = 10 \text{ л} = 0,01 \text{ м}^3\] 3. Изменение объема связано с высотой поднятия поршня формулой \(\Delta V = S \cdot \Delta h\): \[\Delta h = \frac{\Delta V}{S} = \frac{0,01 \text{ м}^3}{0,03 \text{ м}^2} \approx 0,333 \text{ м} = 33,3 \text{ см}\] Ответ: поршень поднялся на \(33,3 \text{ см}\). Задача 12. Дано: \(m = 10 \text{ г} = 0,01 \text{ кг}\) \(M = 300 \text{ г} = 0,3 \text{ кг}\) \(S = 3 \text{ м}\) Найти: \(v_0\) — ? (начальная скорость пули) Решение: 1. По закону сохранения импульса при ударе (пуля застревает): \[m v_0 = (m + M) u \implies u = \frac{m v_0}{m + M}\] где \(u\) — скорость коробки с пулей сразу после удара. 2. После удара кинетическая энергия системы расходуется на работу против силы трения: \[\frac{(m + M) u^2}{2} = F_{тр} S = \mu (m + M) g S\] \[\frac{u^2}{2} = \mu g S \implies u = \sqrt{2 \mu g S}\] 3. Объединяем формулы: \[\frac{m v_0}{m + M} = \sqrt{2 \mu g S} \implies v_0 = \frac{m + M}{m} \sqrt{2 \mu g S}\] Примечание: В условии не указан коэффициент трения \(\mu\). Если принять стандартное значение для дерева по песку или аналогичное (например, \(\mu = 0,4\)): \[v_0 = \frac{0,31}{0,01} \sqrt{2 \cdot 0,4 \cdot 10 \cdot 3} = 31 \sqrt{24} \approx 31 \cdot 4,9 \approx 152 \text{ м/с}\] Ответ: \(v_0 = \frac{m + M}{m} \sqrt{2 \mu g S}\). (Для точного числового ответа необходим коэффициент трения).