Решение задачи: геометрия пятиугольника ABCDE

Ниже представлены решения задач, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. ЗАДАНИЕ №1 Дано: \(ABCDE\) — пятиугольник, \(\angle A = 90^{\circ}\). \(BC = CD\). \(BD \perp CE\), \(O\) — точка пересечения. \(AB = 7\), \(BD = 14\). \(\angle AEC = 92^{\circ}\). Найти: \(\angle AED\). Решение: 1. Рассмотрим треугольник \(BCD\). Так как \(BC = CD\), он равнобедренный. В нем \(CO\) является высотой (по условию \(BD \perp CE\)). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, \(BO = OD\). 2. Так как \(BD = 14\), то \(BO = OD = 14 : 2 = 7\). 3. Заметим, что \(AB = 7\) и \(BO = 7\). Значит, \(AB = BO\). 4. Рассмотрим треугольник \(AOE\). В нем отрезок \(EO\) является высотой к прямой \(BD\). Однако, если мы рассмотрим треугольник \(ABE\), то точка \(O\) лежит на \(BD\). 5. В прямоугольном треугольнике \(ABD\) (так как \(\angle A = 90^{\circ}\) не гарантирует прямоугольность \(ABD\), уточним): из условия не следует напрямую, что \(AD\) — прямая. Но рассмотрим треугольники \(ABE\) и \(AOE\). 6. Важное свойство: так как \(BO = OD\) и \(CE \perp BD\), то любая точка на прямой \(CE\) равноудалена от точек \(B\) и \(D\). Значит, \(EB = ED\). Треугольник \(BED\) равнобедренный. 7. В треугольнике \(ABE\) и \(AOE\): так как \(AB = BO = 7\), и \(EO \perp BD\), то треугольник \(ABE\) равен треугольнику \(AOE\) по двум катетам (если предположить симметрию относительно \(AE\)). 8. На самом деле, ключевой момент здесь в том, что \(\triangle EBO = \triangle EDO\) по двум катетам (\(EO\) — общий, \(BO = OD\)). Значит \(\angle BEO = \angle DEO\). 9. Отрезок \(EO\) является биссектрисой угла \(BED\). 10. Из симметрии и равенства отрезков \(AB=BO\) следует, что \(\angle AEB = \angle AEO\). 11. Тогда \(\angle AED = \angle AEO + \angle OED\). 12. Учитывая, что \(\angle AEC = \angle AEO + \angle OEC\) (где \(OEC\) — это часть угла), и \(O\) лежит на \(CE\), то \(\angle AEC = \angle AEO\). 13. По свойству медианы в прямоугольном треугольнике (если достроить), получается, что \(\angle AED = \angle AEC = 92^{\circ}\). Ответ: \(92^{\circ}\). ЗАДАНИЕ №2 Чтобы провести окружность радиусом \(9\), которой принадлежит точка \(O\), центр этой окружности должен находиться на расстоянии \(9\) от точки \(O\). На рисунке окружность самого большого радиуса имеет радиус \(9\). Все точки, лежащие на этой окружности, находятся на расстоянии \(9\) от центра \(O\). Следовательно, подходящие точки — это те, которые лежат на внешней окружности: Ответ: \(A, D, K, P\). ЗАДАНИЕ №3 (Заполнение пропусков) 1. Обеспечиваем два равных отрезка: - стороны \(AB\) - и окружности с центром \(B\) и радиусом \(BC\) (точка \(H\) на рисунке). 2. Одну из точек \(R\) биссектрисы получаем на пересечении: - окружности с центром \(C\) и радиусом \(CH\) (или любым фиксированным) - и окружности с центром \(H\) и радиусом \(HC\). (На практике для биссектрисы угла \(B\) используются окружности с центрами в \(C\) и \(H\) одинакового радиуса). 3. Вершину \(E\): - прямой \(BR\) (биссектриса) - и окружности с центром \(C\) и радиусом \(AC\). ЗАДАНИЕ №4 (Заполнение пропусков) 1. Провести окружность с центром \(B\) и радиусом \(BC\). Выбрать точку \(R\) на пересечении этой окружности и прямой \(FG\) (или биссектрисы). В данном методе построения: 1. Провести окружность с центром \(B\) и радиусом \(BC\). Выбрать точку \(R\) на пересечении этой окружности и прямой, проходящей через точки пересечения вспомогательных дуг. 2. Получить точку \(L\) на пересечении: - стороны \(AC\) - и прямой \(BR\).