Задача 1. Тело свободно падает с высоты 5 м (от поверхности Земли). Вычислите скорость тела в момент соприкосновения с Землёй. Ускорение свободного падения 10 м/с2.
Дано:
Высота \(h = 5\) м
Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с2
Найти:
Скорость \(v\)
Решение:
При свободном падении тела начальная скорость равна нулю. Для нахождения конечной скорости можно использовать формулу:
\[v^2 = v_0^2 + 2gh\] Так как \(v_0 = 0\), формула упрощается до:
\[v^2 = 2gh\] Выразим скорость \(v\):
\[v = \sqrt{2gh}\] Подставим известные значения:
\[v = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ м}}\] \[v = \sqrt{100 \text{ м}^2/\text{с}^2}\] \[v = 10 \text{ м/с}\]
Ответ: Скорость тела в момент соприкосновения с Землёй равна 10 м/с.
Задача 2. Вычислите полную механическую энергию гири массой 5 кг, если на высоте 2 м она имеет скорость 60 м/с. Ускорение свободного падения 10 м/с2.
Дано:
Масса гири \(m = 5\) кг
Высота \(h = 2\) м
Скорость \(v = 60\) м/с
Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с2
Найти:
Полная механическая энергия \(E\)
Решение:
Полная механическая энергия \(E\) складывается из кинетической энергии \(E_к\) и потенциальной энергии \(E_п\).
Формула для кинетической энергии:
\[E_к = \frac{mv^2}{2}\] Формула для потенциальной энергии:
\[E_п = mgh\] Полная механическая энергия:
\[E = E_к + E_п = \frac{mv^2}{2} + mgh\] Подставим известные значения:
\[E = \frac{5 \text{ кг} \cdot (60 \text{ м/с})^2}{2} + 5 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 2 \text{ м}\] \[E = \frac{5 \text{ кг} \cdot 3600 \text{ м}^2/\text{с}^2}{2} + 100 \text{ Дж}\] \[E = \frac{18000 \text{ Дж}}{2} + 100 \text{ Дж}\] \[E = 9000 \text{ Дж} + 100 \text{ Дж}\] \[E = 9100 \text{ Дж}\]
Ответ: Полная механическая энергия гири равна 9100 Дж.
Задача 3. Вычислите массу самолёта, движущегося по взлётной полосе со скоростью 187,2 км/ч, если его кинетическая энергия равна 33,8 МДж.
Дано:
Скорость самолёта \(v = 187,2\) км/ч
Кинетическая энергия \(E_к = 33,8\) МДж
Найти:
Масса самолёта \(m\)
Решение:
Сначала переведём скорость из км/ч в м/с и кинетическую энергию из МДж в Дж.
Перевод скорости:
\[v = 187,2 \text{ км/ч} = 187,2 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 187,2 \cdot \frac{1}{3,6} \text{ м/с} = 52 \text{ м/с}\] Перевод кинетической энергии:
\[E_к = 33,8 \text{ МДж} = 33,8 \cdot 10^6 \text{ Дж} = 33 800 000 \text{ Дж}\] Формула для кинетической энергии:
\[E_к = \frac{mv^2}{2}\] Выразим массу \(m\) из этой формулы:
\[m = \frac{2E_к}{v^2}\] Подставим известные значения:
\[m = \frac{2 \cdot 33 800 000 \text{ Дж}}{(52 \text{ м/с})^2}\] \[m = \frac{67 600 000 \text{ Дж}}{2704 \text{ м}^2/\text{с}^2}\] \[m = 25000 \text{ кг}\]
Ответ: Масса самолёта равна 25000 кг.