Решение Задачи 1: Расчет Напряжения на Конденсаторе

Решение задачи №1 Дано: Комплексная амплитуда напряжения: \(\dot{U} = 2 e^{-j 3\pi/4}\) В. Схема представляет собой последовательное соединение резистора \(R = 2\) Ом и конденсатора с сопротивлением \(X_C = 2\) Ом. Требуется: записать реакцию \(u_C(t)\) в виде функции времени и найти угловую частоту \(\omega\). 1. Определение угловой частоты \(\omega\): В условии задачи значение угловой частоты \(\omega\) явно не указано числом, однако для записи функции времени она является параметром. В задачах такого типа, если \(\omega\) не задана, она остается в общем виде как \(\omega\). Если же подразумевается стандартная промышленная частота России (50 Гц), то \(\omega = 2\pi f = 314\) рад/с. Запишем ответ в общем виде через \(\omega\). 2. Переход от комплексной формы к мгновенному значению: Комплексное напряжение на входе всей цепи задано как: \[ \dot{U} = U_m e^{j\psi} = 2 e^{-j \frac{3\pi}{4}} \] Здесь амплитуда входного напряжения \(U_m = 2\) В, начальная фаза \(\psi = -3\pi/4\). 3. Нахождение напряжения на конденсаторе \(u_C(t)\): Для этого воспользуемся формулой делителя напряжения в комплексной форме. Комплексное сопротивление резистора \(Z_R = 2\) Ом, конденсатора \(Z_C = -j2\) Ом. Комплексная амплитуда напряжения на конденсаторе \(\dot{U}_C\): \[ \dot{U}_C = \dot{U} \cdot \frac{Z_C}{Z_R + Z_C} = 2 e^{-j \frac{3\pi}{4}} \cdot \frac{-j2}{2 - j2} \] Преобразуем выражение в скобках: \[ \frac{-j2}{2(1 - j)} = \frac{-j}{1 - j} = \frac{-j(1 + j)}{(1 - j)(1 + j)} = \frac{-j - j^2}{1 + 1} = \frac{1 - j}{2} = \frac{1}{2} - j\frac{1}{2} \] Переведем полученное число в показательную форму: Модуль: \(|\frac{1-j}{2}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Аргумент: \(arg = arctg(\frac{-1/2}{1/2}) = -\frac{\pi}{4}\). Тогда: \[ \dot{U}_C = 2 e^{-j \frac{3\pi}{4}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-j \frac{\pi}{4}} = \frac{2}{\sqrt{2}} e^{-j (\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4})} = \sqrt{2} e^{-j\pi} \] 4. Запись функции времени: Общий вид функции: \(u_C(t) = U_{mC} \cos(\omega t + \psi_C)\). Амплитуда \(U_{mC} = \sqrt{2} \approx 1,41\) В. Начальная фаза \(\psi_C = -\pi\). \[ u_C(t) = \sqrt{2} \cos(\omega t - \pi) \text{ [В]} \] Используя формулы приведения (\(\cos(\alpha - \pi) = -\cos(\alpha)\)), можно также записать: \[ u_C(t) = -\sqrt{2} \cos(\omega t) \text{ [В]} \] Ответ: Функция времени: \(u_C(t) = \sqrt{2} \cos(\omega t - \pi)\) В. Угловая частота: \(\omega\) (рад/с).