Решение задачи: Построение векторной диаграммы токов

Решение задачи №2 Дано: Комплекс действующего значения входного напряжения: \(\dot{U} = 12 e^{j \pi/4}\) В. Параметры элементов: резистор \(R = 6\) Ом, катушка индуктивности с сопротивлением \(X_L = 6\) Ом. Масштаб по току: \(1\) А — не менее \(1\) см. Требуется: построить векторную диаграмму токов, указав направление вектора приложенного напряжения. 1. Определение токов в ветвях: Цепь представляет собой параллельное соединение резистора и индуктивности. Напряжение на обоих элементах одинаково и равно \(\dot{U}\). Ток в резистивной ветви (\(\dot{I}_R\)): По закону Ома для цепи переменного тока: \[ \dot{I}_R = \frac{\dot{U}}{R} = \frac{12 e^{j \pi/4}}{6} = 2 e^{j \pi/4} \text{ А} \] Ток в резисторе совпадает по фазе с напряжением. Ток в индуктивной ветви (\(\dot{I}_L\)): Комплексное сопротивление катушки \(Z_L = j X_L = 6 e^{j \pi/2}\) Ом. \[ \dot{I}_L = \frac{\dot{U}}{j X_L} = \frac{12 e^{j \pi/4}}{6 e^{j \pi/2}} = 2 e^{j (\pi/4 - \pi/2)} = 2 e^{-j \pi/4} \text{ А} \] Ток в катушке отстает от напряжения на угол \(\pi/2\) (\(90^\circ\)). 2. Общий ток в цепи (\(\dot{I}\)): По первому закону Кирхгофа: \[ \dot{I} = \dot{I}_R + \dot{I}_L = 2 e^{j \pi/4} + 2 e^{-j \pi/4} \] Переведем в алгебраическую форму: \[ \dot{I}_R = 2 (\cos \frac{\pi}{4} + j \sin \frac{\pi}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} + j \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} + j\sqrt{2} \] \[ \dot{I}_L = 2 (\cos \frac{\pi}{4} - j \sin \frac{\pi}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - j \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} - j\sqrt{2} \] \[ \dot{I} = (\sqrt{2} + j\sqrt{2}) + (\sqrt{2} - j\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} \approx 2,83 \text{ А} \] Общий ток совпадает по фазе с вещественной осью (начальная фаза \(0^\circ\)). 3. Построение векторной диаграммы (рекомендации для тетради): Для построения выберите оси координат: горизонтальная — вещественная (\(+1\)), вертикальная — мнимая (\(+j\)). - Вектор напряжения \(\dot{U}\): длина \(12\) единиц (в выбранном масштабе напряжений), направлен под углом \(+45^\circ\) (\(\pi/4\)) к горизонтальной оси. - Вектор тока \(\dot{I}_R\): длина \(2\) см, направлен вдоль вектора напряжения \(\dot{U}\) (под углом \(45^\circ\)). - Вектор тока \(\dot{I}_L\): длина \(2\) см, направлен под углом \(-90^\circ\) относительно вектора напряжения (то есть под углом \(-45^\circ\) к горизонтальной оси). - Вектор общего тока \(\dot{I}\): строится как диагональ параллелограмма, построенного на векторах \(\dot{I}_R\) и \(\dot{I}_L\). Он будет лежать строго на горизонтальной оси, его длина составит примерно \(2,83\) см. Ответ: Токи в ветвях: \(\dot{I}_R = 2 e^{j \pi/4}\) А, \(\dot{I}_L = 2 e^{-j \pi/4}\) А. Общий ток: \(\dot{I} = 2,83\) А. Векторная диаграмма строится на комплексной плоскости с учетом фазовых сдвигов.