Решение задачи: Резонанс токов в цепи

Решение задачи №3 Дано: Напряжение на участке \(ab\): \(\dot{U}_{ab} = 60\) В. Сопротивление индуктивности: \(X_L = 3\) Ом. Сопротивление резистора в ветви с индуктивностью: \(R = 4\) Ом. В цепи наблюдается резонанс токов. Требуется: найти значение комплекса тока \(\dot{I}\), протекающего через участок \(ab\). 1. Анализ условия резонанса токов: Резонанс токов в параллельной цепи наступает, когда реактивная составляющая общей проводимости цепи равна нулю. Это означает, что общий ток \(\dot{I}\) должен совпадать по фазе с приложенным напряжением \(\dot{U}_{ab}\). Примем начальную фазу напряжения равной нулю для удобства расчетов: \(\dot{U}_{ab} = 60 e^{j0} = 60\) В. 2. Определение проводимости ветвей: Первая ветвь содержит только конденсатор с сопротивлением \(X_C\). Ее проводимость: \[ \underline{Y}_1 = \frac{1}{-j X_C} = j B_C \] Вторая ветвь содержит последовательно соединенные \(R\) и \(X_L\). Ее комплексное сопротивление: \[ \underline{Z}_2 = R + j X_L = 4 + j3 \text{ Ом} \] Комплексная проводимость второй ветви: \[ \underline{Y}_2 = \frac{1}{4 + j3} = \frac{4 - j3}{4^2 + 3^2} = \frac{4 - j3}{25} = 0,16 - j0,12 \text{ См} \] 3. Условие резонанса: Суммарная проводимость цепи: \[ \underline{Y} = \underline{Y}_1 + \underline{Y}_2 = (0,16) + j(B_C - 0,12) \] При резонансе мнимая часть равна нулю: \(B_C - 0,12 = 0 \Rightarrow B_C = 0,12\) См. Следовательно, при резонансе общая проводимость цепи чисто активная: \[ \underline{Y}_{рез} = 0,16 \text{ См} \] 4. Расчет общего тока \(\dot{I}\): По закону Ома в комплексной форме: \[ \dot{I} = \dot{U}_{ab} \cdot \underline{Y}_{рез} \] \[ \dot{I} = 60 \cdot 0,16 = 9,6 \text{ А} \] Так как при резонансе ток совпадает по фазе с напряжением, а мы приняли фазу напряжения за \(0\), то: \[ \dot{I} = 9,6 e^{j0} \text{ А} \] Если в условии задачи под \(\dot{U}_{ab} = 60\) подразумевается действующее значение без указания фазы, то комплекс тока записывается с той же фазой, что и напряжение. Ответ: Комплекс тока \(\dot{I} = 9,6\) А.