Решение задачи электротехники методом Мигоды и контурных токов

Задача 2. 1. Составить в общем (символьном) виде систему уравнений по методу не наложенного циклирования уровня Мигода. 2. Применяя метод контурных токов, определить числовые значения токов ветвей. Проверить в балансе мощностей. Схема электрической цепи и исходные данные: \[E_1 = 30 \text{ В}\] \[E_2 = 12 \text{ В}\] \[E_4 = 21 \text{ В}\] \[R_1 = 6 \text{ Ом}\] \[R_2 = 24 \text{ Ом}\] \[R_3 = 4 \text{ Ом}\] \[R_4 = 15 \text{ Ом}\] \[R_5 = 27 \text{ Ом}\] \[R_6 = 23 \text{ Ом}\] Решение: 1. Составим систему уравнений по методу контурных токов. Для начала, выберем независимые контуры и обозначим их контурные токи. На схеме можно выделить три независимых контура. Обозначим контурные токи \(I_{к1}\), \(I_{к2}\) и \(I_{к3}\). Направление контурных токов выберем по часовой стрелке. Контур 1 (левый): включает элементы \(R_1\), \(R_4\), \(R_5\), \(R_6\), \(E_4\). Контур 2 (верхний): включает элементы \(R_1\), \(R_2\), \(E_1\), \(E_2\). Контур 3 (правый): включает элементы \(R_2\), \(R_3\), \(E_1\), \(E_3\), \(R_6\). (На схеме обозначен \(E_3\), но в данных его нет. Предположим, что это опечатка и имеется в виду \(E_1\), который уже есть в контуре 2, или что \(E_3\) равен нулю, или что это \(E_4\), который уже есть в контуре 1. Исходя из расположения, скорее всего, это \(E_1\), который уже учтен в контуре 2, или же это отдельный источник, который не указан в данных. Если это \(E_1\), то он будет учтен с соответствующим знаком. Если это \(E_3\), и его нет в данных, то примем его равным 0. Давайте предположим, что это \(E_1\), так как он расположен между \(R_2\) и \(R_3\), и его направление совпадает с направлением контурного тока \(I_{к2}\) и противоположно \(I_{к3}\) в этой ветви. Однако, на схеме \(E_1\) расположен в верхней ветви, а в правой ветви обозначен \(E_3\). В данных \(E_3\) отсутствует. Давайте предположим, что \(E_3 = 0\). Или же, что это \(E_1\), но его направление указано в другую сторону. Давайте внимательно посмотрим на схему. В верхней ветви есть \(E_1\), а в правой ветви есть \(E_3\). В данных \(E_3\) нет. Давайте предположим, что \(E_3\) - это опечатка и на самом деле это \(E_1\), но с другим направлением. Или же, что \(E_3\) - это отдельный источник, который не указан в данных, и мы его примем равным 0. Давайте примем, что \(E_3 = 0\). Уточнение: на схеме есть \(E_1\), \(E_2\), \(E_4\). В данных есть \(E_1\), \(E_2\), \(E_4\). В правой ветви на схеме обозначен \(E_3\). Так как его нет в данных, примем \(E_3 = 0\). Составим систему уравнений по второму закону Кирхгофа для каждого контура: Для контура 1: \(I_{к1} (R_4 + R_5 + R_6) - I_{к2} R_4 - I_{к3} R_6 = E_4\) (Здесь \(I_{к2}\) протекает через \(R_4\) в противоположном направлении относительно \(I_{к1}\). \(I_{к3}\) протекает через \(R_6\) в противоположном направлении относительно \(I_{к1}\). Источник \(E_4\) совпадает по направлению с \(I_{к1}\)). Для контура 2: \(I_{к2} (R_1 + R_2 + R_4) - I_{к1} R_4 - I_{к3} R_2 = E_1 - E_2\) (Здесь \(I_{к1}\) протекает через \(R_4\) в противоположном направлении относительно \(I_{к2}\). \(I_{к3}\) протекает через \(R_2\) в противоположном направлении относительно \(I_{к2}\). Источник \(E_1\) совпадает по направлению с \(I_{к2}\), а \(E_2\) направлен противоположно \(I_{к2}\)). Для контура 3: \(I_{к3} (R_2 + R_3 + R_6) - I_{к1} R_6 - I_{к2} R_2 = E_3\) (Здесь \(I_{к1}\) протекает через \(R_6\) в противоположном направлении относительно \(I_{к3}\). \(I_{к2}\) протекает через \(R_2\) в противоположном направлении относительно \(I_{к3}\). Источник \(E_3\) направлен противоположно \(I_{к3}\) в этой ветви, но так как мы приняли \(E_3 = 0\), то правая часть будет 0). Подставим значения сопротивлений: \(R_{11} = R_4 + R_5 + R_6 = 15 + 27 + 23 = 65 \text{ Ом}\) \(R_{22} = R_1 + R_2 + R_4 = 6 + 24 + 15 = 45 \text{ Ом}\) \(R_{33} = R_2 + R_3 + R_6 = 24 + 4 + 23 = 51 \text{ Ом}\) \(R_{12} = R_{21} = R_4 = 15 \text{ Ом}\) \(R_{13} = R_{31} = R_6 = 23 \text{ Ом}\) \(R_{23} = R_{32} = R_2 = 24 \text{ Ом}\) Система уравнений в общем виде: \[\begin{cases} I_{к1} (R_4 + R_5 + R_6) - I_{к2} R_4 - I_{к3} R_6 = E_4 \\ -I_{к1} R_4 + I_{к2} (R_1 + R_2 + R_4) - I_{к3} R_2 = E_1 - E_2 \\ -I_{к1} R_6 - I_{к2} R_2 + I_{к3} (R_2 + R_3 + R_6) = E_3 \end{cases}\] Подставим числовые значения: \[\begin{cases} 65 I_{к1} - 15 I_{к2} - 23 I_{к3} = 21 \\ -15 I_{к1} + 45 I_{к2} - 24 I_{к3} = 30 - 12 \\ -23 I_{к1} - 24 I_{к2} + 51 I_{к3} = 0 \end{cases}\] \[\begin{cases} 65 I_{к1} - 15 I_{к2} - 23 I_{к3} = 21 \\ -15 I_{к1} + 45 I_{к2} - 24 I_{к3} = 18 \\ -23 I_{к1} - 24 I_{к2} + 51 I_{к3} = 0 \end{cases}\] 2. Определим числовые значения токов ветвей. Решим систему уравнений. Используем метод Крамера или метод подстановки. Вычислим определитель главной матрицы системы: \[\Delta = \begin{vmatrix} 65 & -15 & -23 \\ -15 & 45 & -24 \\ -23 & -24 & 51 \end{vmatrix}\] \[\Delta = 65 \cdot (45 \cdot 51 - (-24) \cdot (-24)) - (-15) \cdot ((-15) \cdot 51 - (-24) \cdot (-23)) + (-23) \cdot ((-15) \cdot (-24) - 45 \cdot (-23))\] \[\Delta = 65 \cdot (2295 - 576) + 15 \cdot (-765 - 552) - 23 \cdot (360 + 1035)\] \[\Delta = 65 \cdot 1719 + 15 \cdot (-1317) - 23 \cdot 1395\] \[\Delta = 111735 - 19755 - 32085\] \[\Delta = 59895\] Вычислим определители для каждого контурного тока: \[\Delta_1 = \begin{vmatrix} 21 & -15 & -23 \\ 18 & 45 & -24 \\ 0 & -24 & 51 \end{vmatrix}\] \[\Delta_1 = 21 \cdot (45 \cdot 51 - (-24) \cdot (-24)) - (-15) \cdot (18 \cdot 51 - (-24) \cdot 0) + (-23) \cdot (18 \cdot (-24) - 45 \cdot 0)\] \[\Delta_1 = 21 \cdot (2295 - 576) + 15 \cdot (918 - 0) - 23 \cdot (-432 - 0)\] \[\Delta_1 = 21 \cdot 1719 + 15 \cdot 918 - 23 \cdot (-432)\] \[\Delta_1 = 36099 + 13770 + 9936\] \[\Delta_1 = 59805\] \[I_{к1} = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{59805}{59895} \approx 0.9985 \text{ А}\] \[\Delta_2 = \begin{vmatrix} 65 & 21 & -23 \\ -15 & 18 & -24 \\ -23 & 0 & 51 \end{vmatrix}\] \[\Delta_2 = 65 \cdot (18 \cdot 51 - (-24) \cdot 0) - 21 \cdot ((-15) \cdot 51 - (-24) \cdot (-23)) + (-23) \cdot ((-15) \cdot 0 - 18 \cdot (-23))\] \[\Delta_2 = 65 \cdot (918 - 0) - 21 \cdot (-765 - 552) - 23 \cdot (0 - (-414))\] \[\Delta_2 = 65 \cdot 918 - 21 \cdot (-1317) - 23 \cdot 414\] \[\Delta_2 = 59670 + 27657 - 9522\] \[\Delta_2 = 77805\] \[I_{к2} = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{77805}{59895} \approx 1.299 \text{ А}\] \[\Delta_3 = \begin{vmatrix} 65 & -15 & 21 \\ -15 & 45 & 18 \\ -23 & -24 & 0 \end{vmatrix}\] \[\Delta_3 = 65 \cdot (45 \cdot 0 - 18 \cdot (-24)) - (-15) \cdot ((-15) \cdot 0 - 18 \cdot (-23)) + 21 \cdot ((-15) \cdot (-24) - 45 \cdot (-23))\] \[\Delta_3 = 65 \cdot (0 - (-432)) + 15 \cdot (0 - (-414)) + 21 \cdot (360 - (-1035))\] \[\Delta_3 = 65 \cdot 432 + 15 \cdot 414 + 21 \cdot (360 + 1035)\] \[\Delta_3 = 28080 + 6210 + 21 \cdot 1395\] \[\Delta_3 = 28080 + 6210 + 29295\] \[\Delta_3 = 63585\] \[I_{к3} = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{63585}{59895} \approx 1.0616 \text{ А}\] Теперь найдем токи в ветвях: \(I_{R1}\) (ток через \(R_1\)) = \(I_{к2} \approx 1.299 \text{ А}\) \(I_{R2}\) (ток через \(R_2\)) = \(I_{к2} - I_{к3} \approx 1.299 - 1.0616 = 0.2374 \text{ А}\) \(I_{R3}\) (ток через \(R_3\)) = \(I_{к3} \approx 1.0616 \text{ А}\) \(I_{R4}\) (ток через \(R_4\)) = \(I_{к1} - I_{к2} \approx 0.9985 - 1.299 = -0.3005 \text{ А}\) (направление противоположно выбранному для \(I_{к1}\)) \(I_{R5}\) (ток через \(R_5\)) = \(I_{к1} \approx 0.9985 \text{ А}\) \(I_{R6}\) (ток через \(R_6\)) = \(I_{к1} - I_{к3} \approx 0.9985 - 1.0616 = -0.0631 \text{ А}\) (направление противоположно выбранному для \(I_{к1}\)) Округлим значения токов для удобства: \(I_{R1} \approx 1.30 \text{ А}\) \(I_{R2} \approx 0.24 \text{ А}\) \(I_{R3} \approx 1.06 \text{ А}\) \(I_{R4} \approx -0.30 \text{ А}\) (т.е. 0.30 А в противоположном направлении) \(I_{R5} \approx 1.00 \text{ А}\) \(I_{R6} \approx -0.06 \text{ А}\) (т.е. 0.06 А в противоположном направлении) 3. Проверим баланс мощностей. Сумма мощностей источников должна быть равна сумме мощностей, рассеиваемых на резисторах. Мощность источников: \(P_{E1} = E_1 \cdot I_{R1}\) (если \(I_{R1}\) совпадает с направлением \(E_1\)) \(P_{E2} = E_2 \cdot I_{R1}\) (если \(I_{R1}\) совпадает с направлением \(E_2\)) \(P_{E4} = E_4 \cdot I_{R5}\) (если \(I_{R5}\) совпадает с направлением \(E_4\)) В нашем случае: Ток \(I_{R1}\) (через \(R_1\)) равен \(I_{к2}\). Источник \(E_1\) совпадает с направлением \(I_{к2}\). Источник \(E_2\) направлен противоположно \(I_{к2}\). Ток через \(E_4\) - это \(I_{R5}\) (или \(I_{к1}\)). Источник \(E_4\) совпадает с направлением \(I_{к1}\). \(P_{источников} = E_1 \cdot I_{к2} - E_2 \cdot I_{к2} + E_4 \cdot I_{к1}\) \(P_{источников} = 30 \cdot 1.299 - 12 \cdot 1.299 + 21 \cdot 0.9985\) \(P_{источников} = 38.97 - 15.588 + 20.9685\) \(P_{источников} = 44.3505 \text{ Вт}\) Мощность, рассеиваемая на резисторах: \(P_{R} = I_{R1}^2 R_1 + I_{R2}^2 R_2 + I_{R3}^2 R_3 + I_{R4}^2 R_4 + I_{R5}^2 R_5 + I_{R6}^2 R_6\) \(P_{R} = (1.299)^2 \cdot 6 + (0.2374)^2 \cdot 24 + (1.0616)^2 \cdot 4 + (-0.3005)^2 \cdot 15 + (0.9985)^2 \cdot 27 + (-0.0631)^2 \cdot 23\) \(P_{R} = 1.6874 \cdot 6 + 0.05636 \cdot 24 + 1.127 \cdot 4 + 0.0903 \cdot 15 + 0.997 \cdot 27 + 0.00398 \cdot 23\) \(P_{R} = 10.1244 + 1.35264 + 4.508 + 1.3545 + 26.919 + 0.09154\) \(P_{R} = 44.35008 \text{ Вт}\) Сумма мощностей источников \(\approx 44.3505 \text{ Вт}\) Сумма мощностей, рассеиваемых на резисторах \(\approx 44.35008 \text{ Вт}\) Разница очень мала, что подтверждает правильность расчетов. Ответы: 1. Система уравнений в общем виде: \[\begin{cases} I_{к1} (R_4 + R_5 + R_6) - I_{к2} R_4 - I_{к3} R_6 = E_4 \\ -I_{к1} R_4 + I_{к2} (R_1 + R_2 + R_4) - I_{к3} R_2 = E_1 - E_2 \\ -I_{к1} R_6 - I_{к2} R_2 + I_{к3} (R_2 + R_3 + R_6) = E_3 \end{cases}\] Система уравнений с числовыми значениями: \[\begin{cases} 65 I_{к1} - 15 I_{к2} - 23 I_{к3} = 21 \\ -15 I_{к1} + 45 I_{к2} - 24 I_{к3} = 18 \\ -23 I_{к1} - 24 I_{к2} + 51 I_{к3} = 0 \end{cases}\] 2. Числовые значения токов ветвей: \(I_{R1} \approx 1.30 \text{ А}\) \(I_{R2} \approx 0.24 \text{ А}\) \(I_{R3} \approx 1.06 \text{ А}\) \(I_{R4} \approx -0.30 \text{ А}\) (т.е. 0.30 А, направленный от узла между \(R_1, R_4, R_5\) к узлу между \(R_1, R_2, E_1, E_2\)) \(I_{R5} \approx 1.00 \text{ А}\) \(I_{R6} \approx -0.06 \text{ А}\) (т.е. 0.06 А, направленный от узла между \(R_4, R_5, R_6\) к узлу между \(R_2, R_3, R_6, E_3\)) Проверка баланса мощностей: Суммарная мощность источников: \(P_{источников} \approx 44.35 \text{ Вт}\) Суммарная мощность, рассеиваемая на резисторах: \(P_{R} \approx 44.35 \text{ Вт}\) Баланс мощностей соблюдается.