Решение задачи по тригонометрии: Контрольная работа 1

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. Контрольная работа 1 Тригонометрия 1. Выберите верное равенство: Для того чтобы выбрать верное равенство, нужно перевести радианы в градусы или наоборот. Мы знаем, что \( \pi \) радиан равно \( 180^\circ \). а) \( \frac{\pi}{3} = 60^\circ \) Переведем \( \frac{\pi}{3} \) в градусы: \( \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ \). Это равенство верное. б) \( \frac{\pi}{3} = 30^\circ \) Мы уже выяснили, что \( \frac{\pi}{3} = 60^\circ \). Значит, это равенство неверное. в) \( \frac{\pi}{3} = 90^\circ \) Это равенство неверное. г) \( \frac{\pi}{3} = 120^\circ \) Это равенство неверное. Ответ: а) \( \frac{\pi}{3} = 60^\circ \) 2. Выясните, является ли число 0 корнем уравнения \( \sin(\pi + 2x) = 0 \). Чтобы выяснить, является ли число 0 корнем уравнения, нужно подставить \( x = 0 \) в уравнение и проверить, выполняется ли равенство. Подставим \( x = 0 \) в уравнение: \( \sin(\pi + 2 \cdot 0) = 0 \) \( \sin(\pi + 0) = 0 \) \( \sin(\pi) = 0 \) Мы знаем, что \( \sin(\pi) = 0 \). Так как \( 0 = 0 \), равенство выполняется. Ответ: Да, число 0 является корнем уравнения \( \sin(\pi + 2x) = 0 \). 3. Вычислите: \( \text{tg}\left(\text{arcsin}\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \). Сначала найдем значение \( \text{arcsin}\frac{\sqrt{2}}{2} \). \( \text{arcsin}\frac{\sqrt{2}}{2} \) — это угол, синус которого равен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \). Мы знаем, что \( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Значит, \( \text{arcsin}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} \). Теперь вычислим \( \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) \). Мы знаем, что \( \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \). Ответ: \( \text{tg}\left(\text{arcsin}\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1 \). 4. Упростите выражение \( (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) \). Это выражение является формулой разности квадратов: \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \). В нашем случае \( a = 1 \) и \( b = \cos \alpha \). \( (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = 1^2 - (\cos \alpha)^2 = 1 - \cos^2 \alpha \). Используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), мы можем выразить \( 1 - \cos^2 \alpha \): \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \). Ответ: \( (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = \sin^2 \alpha \). 5. Сравните значения выражений \( \cos 557^\circ \) и \( \sin 484^\circ \). Приведем углы к диапазону от \( 0^\circ \) до \( 360^\circ \) или от \( 0 \) до \( 2\pi \). Для \( \cos 557^\circ \): \( 557^\circ = 360^\circ + 197^\circ \). Так как функция косинуса имеет период \( 360^\circ \), то \( \cos 557^\circ = \cos 197^\circ \). Угол \( 197^\circ \) находится в III четверти, где косинус отрицателен. \( \cos 197^\circ = \cos(180^\circ + 17^\circ) = -\cos 17^\circ \). Для \( \sin 484^\circ \): \( 484^\circ = 360^\circ + 124^\circ \). Так как функция синуса имеет период \( 360^\circ \), то \( \sin 484^\circ = \sin 124^\circ \). Угол \( 124^\circ \) находится во II четверти, где синус положителен. \( \sin 124^\circ = \sin(180^\circ - 56^\circ) = \sin 56^\circ \). Теперь сравним \( -\cos 17^\circ \) и \( \sin 56^\circ \). \( \cos 17^\circ \) — это положительное число, так как \( 17^\circ \) находится в I четверти. \( \sin 56^\circ \) — это положительное число, так как \( 56^\circ \) находится в I четверти. Таким образом, \( -\cos 17^\circ \) является отрицательным числом, а \( \sin 56^\circ \) является положительным числом. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Ответ: \( \cos 557^\circ < \sin 484^\circ \). 6. Найдите наибольшее значение функции \( y = 2 \cos x \cdot \sin x - 1 \). Мы знаем формулу двойного угла для синуса: \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \). Подставим это в функцию: \( y = \sin(2x) - 1 \). Наибольшее значение функции \( \sin(2x) \) равно 1, так как \( -1 \le \sin(2x) \le 1 \). Следовательно, наибольшее значение функции \( y = \sin(2x) - 1 \) будет при \( \sin(2x) = 1 \). Наибольшее значение \( y_{max} = 1 - 1 = 0 \). Ответ: Наибольшее значение функции равно 0. 7. Решите уравнение \( 6 \cos^2 x + 5 \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = 7 \). Сначала упростим \( \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) \). Используем формулы приведения: \( \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x \). Подставим это в уравнение: \( 6 \cos^2 x + 5 \sin x = 7 \). Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \): \( 6(1 - \sin^2 x) + 5 \sin x = 7 \). \( 6 - 6 \sin^2 x + 5 \sin x = 7 \). Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно \( \sin x \): \( -6 \sin^2 x + 5 \sin x + 6 - 7 = 0 \). \( -6 \sin^2 x + 5 \sin x - 1 = 0 \). Умножим на -1, чтобы старший коэффициент был положительным: \( 6 \sin^2 x - 5 \sin x + 1 = 0 \). Пусть \( t = \sin x \). Тогда уравнение примет вид: \( 6t^2 - 5t + 1 = 0 \). Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \). \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 \). \( t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). \( t_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \). \( t_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \). Теперь вернемся к \( \sin x \): 1) \( \sin x = \frac{1}{2} \) \( x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \). \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \). 2) \( \sin x = \frac{1}{3} \) \( x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \). Ответ: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \) и \( x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \). 8. Найдите \( \cos(\alpha - \beta) \), если \( \cos \alpha = -0,8 \), \( \sin \beta = 0,6 \) (\( \alpha \) и \( \beta \) — углы второй координатной четверти). Формула косинуса разности углов: \( \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \). Нам дано: \( \cos \alpha = -0,8 \) \( \sin \beta = 0,6 \) Нужно найти \( \sin \alpha \) и \( \cos \beta \). Углы \( \alpha \) и \( \beta \) находятся во второй координатной четверти. Во второй четверти: \( \sin \) положителен, \( \cos \) отрицателен. Найдем \( \sin \alpha \): Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36 \). \( \sin \alpha = \pm \sqrt{0,36} = \pm 0,6 \). Так как \( \alpha \) во II четверти, \( \sin \alpha > 0 \). Значит, \( \sin \alpha = 0,6 \). Найдем \( \cos \beta \): Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \). \( \cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64 \). \( \cos \beta = \pm \sqrt{0,64} = \pm 0,8 \). Так как \( \beta \) во II четверти, \( \cos \beta < 0 \). Значит, \( \cos \beta = -0,8 \). Теперь подставим все значения в формулу \( \cos(\alpha - \beta) \): \( \cos(\alpha - \beta) = (-0,8) \cdot (-0,8) + (0,6) \cdot (0,6) \). \( \cos(\alpha - \beta) = 0,64 + 0,36 \). \( \cos(\alpha - \beta) = 1 \). Ответ: \( \cos(\alpha - \beta) = 1 \). 9. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций \( y = \cos 5x + \cos 9x \) и \( y = -\sqrt{2} \cos 2x \). Чтобы найти абсциссы точек пересечения, нужно приравнять правые части функций: \( \cos 5x + \cos 9x = -\sqrt{2} \cos 2x \). Используем формулу суммы косинусов: \( \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \). Здесь \( A = 9x \) и \( B = 5x \). \( \frac{A+B}{2} = \frac{9x+5x}{2} = \frac{14x}{2} = 7x \). \( \frac{A-B}{2} = \frac{9x-5x}{2} = \frac{4x}{2} = 2x \). Подставим в уравнение: \( 2 \cos 7x \cos 2x = -\sqrt{2} \cos 2x \). Перенесем все члены в левую часть: \( 2 \cos 7x \cos 2x + \sqrt{2} \cos 2x = 0 \). Вынесем общий множитель \( \cos 2x \): \( \cos 2x (2 \cos 7x + \sqrt{2}) = 0 \). Это уравнение распадается на два случая: 1) \( \cos 2x = 0 \) \( 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \). \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \). 2) \( 2 \cos 7x + \sqrt{2} = 0 \) \( 2 \cos 7x = -\sqrt{2} \) \( \cos 7x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) \( 7x = \pm \text{arccos}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \). \( 7x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \). \( x = \pm \frac{3\pi}{28} + \frac{2\pi k}{7}, \quad k \in \mathbb{Z} \). Ответ: Абсциссы точек пересечения: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \) и \( x = \pm \frac{3\pi}{28} + \frac{2\pi k}{7}, \quad k \in \mathbb{Z} \). 10. Постройте график функции \( y = \sin x + 0,5 \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \). Сначала упростим функцию. Используем формулу приведения: \( \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x \). Подставим это в функцию: \( y = \sin x + 0,5 \sin x \). \( y = 1,5 \sin x \). Теперь построим график функции \( y = 1,5 \sin x \). Это синусоида, амплитуда которой равна 1,5. Основные точки для построения: При \( x = 0 \), \( y = 1,5 \sin 0 = 0 \). При \( x = \frac{\pi}{2} \), \( y = 1,5 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1,5 \cdot 1 = 1,5 \). При \( x = \pi \), \( y = 1,5 \sin \pi = 1,5 \cdot 0 = 0 \). При \( x = \frac{3\pi}{2} \), \( y = 1,5 \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 1,5 \cdot (-1) = -1,5 \). При \( x = 2\pi \), \( y = 1,5 \sin(2\pi) = 1,5 \cdot 0 = 0 \). График будет выглядеть как обычная синусоида, но ее максимальные значения будут 1,5, а минимальные - -1,5. Период функции остается \( 2\pi \). (Для школьника: нарисуйте координатную плоскость. Отметьте на оси X точки \( 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi \) и т.д. На оси Y отметьте 1,5 и -1,5. Соедините точки \( (0,0), (\frac{\pi}{2}, 1.5), (\pi, 0), (\frac{3\pi}{2}, -1.5), (2\pi, 0) \) плавной кривой, продолжая ее в обе стороны.) Ответ: График функции \( y = 1,5 \sin x \).