Решение задачи о движении точки в плоскости

Хорошо, давайте решим задачу 2. Задача 2: Движение точки в плоскости \(xy\) задано уравнениями: \[x = 2t\] \[y = 3t^2 - 4\] где \(x\), \(y\) - в м, \(t\) - в сек. Найти уравнение траектории точки и определить режим движения (ускоренное, замедленное), подтвердив это расчетами. --- Решение: 1. Находим уравнение траектории. Для этого нужно исключить время \(t\) из заданных уравнений. Из первого уравнения выразим \(t\): \[x = 2t \Rightarrow t = \frac{x}{2}\] Теперь подставим это выражение для \(t\) во второе уравнение: \[y = 3\left(\frac{x}{2}\right)^2 - 4\] \[y = 3\left(\frac{x^2}{4}\right) - 4\] \[y = \frac{3}{4}x^2 - 4\] Это уравнение является уравнением параболы. 2. Определяем режим движения (ускоренное или замедленное). Для этого нам нужно найти скорость и ускорение точки. а) Находим компоненты скорости: Скорость - это первая производная от координат по времени. \[v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2t) = 2 \text{ м/с}\] \[v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 4) = 6t \text{ м/с}\] Модуль скорости \(v\) находится по формуле: \[v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\] \[v = \sqrt{2^2 + (6t)^2} = \sqrt{4 + 36t^2}\] б) Находим компоненты ускорения: Ускорение - это первая производная от скорости по времени (или вторая производная от координат по времени). \[a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d}{dt}(2) = 0 \text{ м/с}^2\] \[a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d}{dt}(6t) = 6 \text{ м/с}^2\] Модуль ускорения \(a\) находится по формуле: \[a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}\] \[a = \sqrt{0^2 + 6^2} = \sqrt{36} = 6 \text{ м/с}^2\] Ускорение постоянно и равно \(6 \text{ м/с}^2\). в) Для определения режима движения (ускоренное или замедленное) нужно проанализировать, как меняется модуль скорости со временем. Мы нашли, что \(v = \sqrt{4 + 36t^2}\). Посмотрим на производную модуля скорости по времени: \[\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\sqrt{4 + 36t^2})\] Используем правило дифференцирования сложной функции: \(\frac{d}{dx}(\sqrt{u}) = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{du}{dx}\). Здесь \(u = 4 + 36t^2\), \(\frac{du}{dt} = 72t\). \[\frac{dv}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{4 + 36t^2}} \cdot 72t = \frac{36t}{\sqrt{4 + 36t^2}}\] Поскольку время \(t\) всегда положительно (\(t \ge 0\)), то \(\frac{dv}{dt} \ge 0\). Это означает, что модуль скорости \(v\) со временем либо увеличивается, либо остается постоянным (при \(t=0\)). Если \(\frac{dv}{dt} > 0\), то движение ускоренное. Если \(\frac{dv}{dt} < 0\), то движение замедленное. Если \(\frac{dv}{dt} = 0\), то движение равномерное. В нашем случае, при \(t > 0\), \(\frac{dv}{dt} > 0\). Следовательно, движение является ускоренным. Также можно рассмотреть скалярное произведение вектора скорости на вектор ускорения: \[\vec{v} \cdot \vec{a} = v_x a_x + v_y a_y\] \[\vec{v} \cdot \vec{a} = (2)(0) + (6t)(6) = 36t\] При \(t > 0\), \(\vec{v} \cdot \vec{a} > 0\). Если скалярное произведение скорости и ускорения положительно, то движение ускоренное. Если отрицательно, то замедленное. Если равно нулю, то равномерное или движение по окружности с постоянной скоростью. В данном случае, при \(t > 0\), \(\vec{v} \cdot \vec{a} = 36t > 0\), что подтверждает ускоренный характер движения. --- Ответ: 1. Уравнение траектории точки: \[y = \frac{3}{4}x^2 - 4\] Это уравнение параболы. 2. Режим движения: Движение является ускоренным. Это подтверждается тем, что производная модуля скорости по времени \(\frac{dv}{dt} = \frac{36t}{\sqrt{4 + 36t^2}}\) положительна при \(t > 0\), а также тем, что скалярное произведение вектора скорости на вектор ускорения \(\vec{v} \cdot \vec{a} = 36t\) положительно при \(t > 0\).