Решение задачи: Уравнения телеграфа

Ниже представлено решение второй задачи, оформленное для записи в тетрадь. Вариант 3. Задача №2. Условие: Изолированный провод длиной \(l\), утечкой в котором можно пренебречь, первоначально был заряжен до стационарного потенциала \(u_0\). В начальный момент времени \(t = 0\) левый конец (\(x = 0\)) заземляют через постоянную ЭДС \(E_0\), а правый конец (\(x = l\)) заземляют через резистор \(R_0\). Поставить задачу для определения потенциала \(u(x, t)\) и силы тока \(i(x, t)\) в проводе. Решение: Процессы в длинных линиях описываются системой телеграфных уравнений. Так как утечкой (\(G = 0\)) и сопротивлением провода (\(R = 0\)) в рамках идеализации часто пренебрегают для упрощения (или рассматривают общий случай), запишем основные соотношения. 1. Система уравнений (телеграфные уравнения): Для потенциала \(u(x, t)\) и тока \(i(x, t)\): \[ \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} = -L \frac{\partial i}{\partial t} \\ \frac{\partial i}{\partial x} = -C \frac{\partial u}{\partial t} \end{cases} \] где \(L\) — индуктивность, \(C\) — емкость на единицу длины. Отсюда следует волновое уравнение для потенциала: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad \text{где } a = \frac{1}{\sqrt{LC}} \] 2. Начальные условия (\(t = 0\)): По условию, провод был заряжен до стационарного потенциала \(u_0\). Это означает, что в начальный момент ток не течет, а потенциал распределен равномерно: \[ u(x, 0) = u_0 \] \[ i(x, 0) = 0 \] Из второго уравнения системы при \(i=0\) следует также: \[ \frac{\partial u(x, 0)}{\partial t} = 0 \] 3. Граничные условия (\(t > 0\)): На левом конце (\(x = 0\)) провод заземлен через источник ЭДС \(E_0\). Это задает фиксированный потенциал: \[ u(0, t) = E_0 \] На правом конце (\(x = l\)) провод заземлен через резистор \(R_0\). По закону Ома потенциал на конце равен падению напряжения на резисторе: \[ u(l, t) = R_0 \cdot i(l, t) \] Используя первое уравнение системы (\(i_t = -\frac{1}{L} u_x\)), продифференцируем граничное условие по \(t\): \[ \frac{\partial u(l, t)}{\partial t} = R_0 \frac{\partial i(l, t)}{\partial t} = - \frac{R_0}{L} \frac{\partial u(l, t)}{\partial x} \] Или в стандартном виде: \[ \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x=l} + \frac{L}{R_0} \frac{\partial u}{\partial t} \bigg|_{x=l} = 0 \] Итоговая математическая постановка задачи для потенциала \(u(x, t)\): \[ \begin{cases} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad 0 < x < l, \quad t > 0 \\ u(x, 0) = u_0 \\ u_t(x, 0) = 0 \\ u(0, t) = E_0 \\ u_x(l, t) + \frac{L}{R_0} u_t(l, t) = 0 \end{cases} \] Сила тока \(i(x, t)\) после нахождения \(u(x, t)\) определяется из уравнения: \[ i(x, t) = - \frac{1}{L} \int_0^t \frac{\partial u(x, \tau)}{\partial x} d\tau \]