Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Решим систему линейных уравнений методом Крамера. Дана система: \[ \begin{cases} 2x_1 + x_2 - x_3 = 4 \\ -x_1 + x_2 + 3x_3 = 2 \\ x_1 + 2x_2 = 4 \end{cases} \] 1. Вычислим главный определитель системы \( \Delta \): \[ \Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} \] Раскроем по третьей строке: \[ \Delta = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} + 0 \] \[ \Delta = 1 \cdot (3 - (-1)) - 2 \cdot (6 - 1) = 4 - 10 = -6 \] Так как \( \Delta \neq 0 \), система имеет единственное решение. 2. Вычислим определитель \( \Delta_1 \), заменив первый столбец на свободные члены: \[ \Delta_1 = \begin{vmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_1 = 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_1 = 4 \cdot (0 - 6) - 1 \cdot (0 - 12) - 1 \cdot (4 - 4) = -24 + 12 - 0 = -12 \] 3. Вычислим определитель \( \Delta_2 \), заменив второй столбец: \[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 4 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 0 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_2 = 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} + 0 \] \[ \Delta_2 = 1 \cdot (12 - (-2)) - 4 \cdot (6 - 1) = 14 - 20 = -6 \] 4. Вычислим определитель \( \Delta_3 \), заменив третий столбец: \[ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_3 = 2 \cdot (4 - 4) - 1 \cdot (-4 - 2) + 4 \cdot (-2 - 1) \] \[ \Delta_3 = 0 + 6 - 12 = -6 \] 5. Находим неизвестные по формулам Крамера: \[ x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-12}{-6} = 2 \] \[ x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{-6}{-6} = 1 \] \[ x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{-6}{-6} = 1 \] Ответ: \( x_1 = 2, x_2 = 1, x_3 = 1 \).