Решение задачи: Угол поворота сечения B консольной балки

Для решения данной задачи по сопротивлению материалов необходимо вычислить угол поворота сечения \( B \) для каждой из четырех предложенных консольных балок и найти вариант с наименьшим значением. Угол поворота сечения \( \theta_B \) определяется изгибающим моментом на участке от заделки до точки \( B \). Рассмотрим каждый вариант отдельно. Длина первого участка (от заделки до \( B \)) во всех случаях равна \( a = 2l \). 1. Первый вариант: На балку действуют сосредоточенный момент \( M = 2Fl \) в точке \( B \) и сила \( F \) на конце (плечо до \( B \) равно \( 2l \)). Суммарный момент в сечении \( B \) от внешней силы \( F \): \( M_F = F \cdot 2l = 2Fl \). Внешний момент \( 2Fl \) направлен против часовой стрелки, а момент от силы \( F \) — по часовой. Они уравновешивают друг друга в точке \( B \). Однако для угла поворота важна эпюра моментов на участке заделки. Момент в заделке: \( M_{зад} = 2Fl - F \cdot 4l = -2Fl \). Средний момент на участке \( 2l \) составит \( Fl \). Угол поворота \( \theta_B \approx \frac{M \cdot a}{EI} \). Здесь значение будет отличным от нуля. 2. Второй вариант: Сила \( 2F \) вниз в точке \( B \) и сила \( F \) вверх в точке \( A \). Момент в точке \( B \) от силы \( F \): \( M_B = F \cdot 2l = 2Fl \). Момент в заделке: \( M_{зад} = F \cdot 4l - 2F \cdot 2l = 4Fl - 4Fl = 0 \). Так как момент в заделке равен 0 и момент в точке \( B \) равен \( 2Fl \), эпюра моментов на первом участке имеет треугольный вид. Угол поворота будет существенным. 3. Третий вариант: Сила \( 2F \) вверх в точке \( B \) и сила \( F \) вниз в точке \( A \). Момент в точке \( B \) от силы \( F \): \( M_B = -F \cdot 2l = -2Fl \). Момент в заделке: \( M_{зад} = 2F \cdot 2l - F \cdot 4l = 4Fl - 4Fl = 0 \). Ситуация аналогична второму варианту, угол поворота не минимален. 4. Четвертый вариант: Сила \( F \) вверх в точке \( B \) и пара сил (момент) \( M = 2Fl \) в точке \( A \). Момент от силы \( F \) в заделке: \( M_F = F \cdot 2l \). Внешний момент \( M = 2Fl \) действует в противоположную сторону. На участке от заделки до точки \( B \) изгибающий момент \( M(x) \) будет определяться разностью этих воздействий. Заметим, что в этой схеме нагрузки направлены так, что деформации от силы и от момента в значительной степени компенсируют друг друга именно в области заделки и первого пролета. Анализ по методу начальных параметров или перемножению эпюр (метод Верещагина) показывает, что в третьем варианте за счет повышенной жесткости первого участка \( 2EI \) и взаимной компенсации моментов от сил \( 2F \) и \( F \), угол поворота будет стремиться к минимуму. Однако, если внимательно посмотреть на эпюры моментов: Во втором и третьем вариантах момент в заделке \( M = 0 \). В третьем варианте жесткость первого участка увеличена в 2 раза (\( 2EI \)). Формула угла поворота: \[ \theta_B = \int_{0}^{2l} \frac{M(x)}{EI(x)} dx \] Для третьего варианта: момент линейно растет от 0 (в заделке) до \( 2Fl \) (в точке \( B \)), но делится на удвоенную жесткость \( 2EI \). Это дает наименьшую площадь эпюры \( \frac{M}{EI} \). Ответ: Третий вариант (балка с жесткостью \( 2EI \) на первом участке и силами \( 2F \) вверх и \( F \) вниз).