Решение задачи: Расчет тени и полутени от диска

Задача №5 Дано: \(D_{ист} = 20\) см — диаметр светящегося кольца (источника); \(d = 20\) см — диаметр картонного диска; \(L = 40\) см — расстояние от кольца до диска; \(H = 60\) см — расстояние от диска до экрана. Найти: а) \(D_{т}\) — диаметр полной тени; б) \(D_{пт}\) — внешний диаметр полутени; в) \(\Delta d\) — на сколько нужно уменьшить диаметр диска, чтобы тень исчезла. Решение: Рассмотрим ход лучей в плоскости сечения, проходящего через центры кольца и диска. Пусть \(R = 10\) см — радиус кольца и диска. а) Полная тень образуется лучами, идущими от краев источника к противоположным краям диска (внутренние касательные). Однако в данной задаче диаметры источника и диска равны (\(D_{ист} = d\)). В этом случае лучи, формирующие границу полной тени, сходятся в точку за диском. Расстояние от диска до вершины конуса полной тени \(h\) находится из подобия треугольников: \[ \frac{d}{D_{ист}} = \frac{h}{L + h} \] Так как \(d = D_{ист}\), то лучи, идущие от края источника через соответствующий край диска, параллельны. Но полная тень формируется "внутренними" лучами. Радиус полной тени \(R_{т}\) на расстоянии \(H\) от диска: \[ R_{т} = R - \frac{R \cdot H}{L} \] \[ D_{т} = d - \frac{d \cdot H}{L} \] Подставим значения: \[ D_{т} = 20 - \frac{20 \cdot 60}{40} = 20 - 30 = -10 \text{ см} \] Отрицательное значение означает, что конус тени закончился до экрана. Следовательно, \(D_{т} = 0\) (полной тени на экране нет, есть только область полутени и "кольцеобразной" тени). б) Полутень (внешняя граница) образуется лучами, идущими от краев источника через одноименные края диска. Так как \(D_{ист} = d = 20\) см, эти лучи параллельны оптической оси. Следовательно, диаметр внешней границы полутени будет равен диаметру диска: \[ D_{пт} = d = 20 \text{ см} \] в) Чтобы полной тени не было вообще (даже в пространстве за диском), вершина конуса тени должна лежать на самом диске или перед ним. Но в условии спрашивается, чтобы тени не было на экране. Как мы выяснили в пункте (а), при текущих параметрах полной тени на экране уже нет (\(D_{т} < 0\)). Если же вопрос подразумевает, чтобы конус тени касался экрана (стал равен 0), то условие \(D_{т} = 0\) уже выполняется и даже перевыполнено. Если предположить, что в пункте (а) имелась в виду область, куда не попадает свет ни от одной точки кольца, то при \(d = D_{ист}\) такая область исчезает на расстоянии \(L\) от диска. Так как \(H = 60 > L = 40\), полной тени на экране нет. Ответ: 0 см (уменьшать не требуется). Ответ: а) \(D_{т} = 0\) см; б) \(D_{пт} = 20\) см; в) \(\Delta d = 0\) см.