Решение задачи 266: Построение прямой AB на координатной плоскости

Хорошо, давайте решим задачу 266 и построим координатную плоскость. Задача 266: Отметьте точки \(A(4; -3)\) и \(B(-2; 6)\). Проведите прямую \(AB\) и найдите координаты точек пересечения этой прямой с осью \(x\) и осью \(y\). Решение: 1. Построим координатную плоскость. Начертим две перпендикулярные прямые: горизонтальную ось \(x\) (ось абсцисс) и вертикальную ось \(y\) (ось ординат). Точка их пересечения - начало координат \(O(0; 0)\). Отметим единичные отрезки на каждой оси. 2. Отметим точки \(A(4; -3)\) и \(B(-2; 6)\) на координатной плоскости. * Для точки \(A(4; -3)\): от начала координат отсчитываем 4 единицы вправо по оси \(x\), затем 3 единицы вниз параллельно оси \(y\). * Для точки \(B(-2; 6)\): от начала координат отсчитываем 2 единицы влево по оси \(x\), затем 6 единиц вверх параллельно оси \(y\). 3. Проведем прямую через точки \(A\) и \(B\). 4. Найдем уравнение прямой \(AB\). Используем формулу уравнения прямой, проходящей через две точки \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\): \[\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}\] Подставим координаты точек \(A(4; -3)\) и \(B(-2; 6)\): \(x_1 = 4\), \(y_1 = -3\) \(x_2 = -2\), \(y_2 = 6\) \[\frac{x - 4}{-2 - 4} = \frac{y - (-3)}{6 - (-3)}\] \[\frac{x - 4}{-6} = \frac{y + 3}{9}\] Умножим обе части уравнения на \(-18\) (наименьшее общее кратное \(-6\) и \(9\)), чтобы избавиться от знаменателей: \[-3(x - 4) = 2(y + 3)\] Раскроем скобки: \[-3x + 12 = 2y + 6\] Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить общее уравнение прямой: \[-3x - 2y + 12 - 6 = 0\] \[-3x - 2y + 6 = 0\] Или, умножив на \(-1\), чтобы коэффициент при \(x\) был положительным: \[3x + 2y - 6 = 0\] Это уравнение прямой \(AB\). 5. Найдем координаты точки пересечения прямой \(AB\) с осью \(x\). На оси \(x\) координата \(y\) всегда равна \(0\). Подставим \(y = 0\) в уравнение прямой: \[3x + 2(0) - 6 = 0\] \[3x - 6 = 0\] \[3x = 6\] \[x = \frac{6}{3}\] \[x = 2\] Точка пересечения с осью \(x\) имеет координаты \((2; 0)\). 6. Найдем координаты точки пересечения прямой \(AB\) с осью \(y\). На оси \(y\) координата \(x\) всегда равна \(0\). Подставим \(x = 0\) в уравнение прямой: \[3(0) + 2y - 6 = 0\] \[2y - 6 = 0\] \[2y = 6\] \[y = \frac{6}{2}\] \[y = 3\] Точка пересечения с осью \(y\) имеет координаты \((0; 3)\). Ответ: Координаты точек пересечения прямой \(AB\): * с осью \(x\): \((2; 0)\) * с осью \(y\): \((0; 3)\) (Здесь должен быть рисунок координатной плоскости с отмеченными точками \(A(4; -3)\), \(B(-2; 6)\), проведенной прямой \(AB\) и отмеченными точками пересечения с осями \((2; 0)\) и \((0; 3)\). Поскольку я не могу рисовать, вам нужно будет начертить его самостоятельно в тетради.) Как начертить координатную плоскость: 1. Начертите горизонтальную линию (ось \(x\)) и вертикальную линию (ось \(y\)), чтобы они пересекались под прямым углом. 2. Отметьте стрелками положительные направления: вправо для оси \(x\) и вверх для оси \(y\). 3. Точку пересечения обозначьте \(O\). 4. Отметьте единичные отрезки (например, 1 см или 2 клетки тетради) на каждой оси. Подпишите числа: \(1, 2, 3, \dots\) вправо по оси \(x\), \(-1, -2, -3, \dots\) влево по оси \(x\), \(1, 2, 3, \dots\) вверх по оси \(y\), \(-1, -2, -3, \dots\) вниз по оси \(y\). 5. Отметьте точку \(A(4; -3)\): от \(O\) 4 единицы вправо, затем 3 единицы вниз. 6. Отметьте точку \(B(-2; 6)\): от \(O\) 2 единицы влево, затем 6 единиц вверх. 7. Соедините точки \(A\) и \(B\) прямой линией, продлив ее до пересечения с осями. 8. Отметьте точки пересечения: \((2; 0)\) на оси \(x\) и \((0; 3)\) на оси \(y\).