Решение задачи: y'' - 7y' + 10y = 20

Задание: Найти общее решение дифференциального уравнения \( y'' - 7y' + 10y = 20 \). Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение такого уравнения ищется в виде суммы общего решения однородного уравнения \( y_{оо} \) и частного решения неоднородного уравнения \( y_{чн} \): \[ y = y_{оо} + y_{чн} \] 1. Найдем общее решение однородного уравнения \( y'' - 7y' + 10y = 0 \). Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 - 7k + 10 = 0 \] Найдем корни через дискриминант: \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \] \[ k_1 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] \[ k_2 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] Корни действительные и различные, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид: \[ y_{оо} = C_1 e^{5x} + C_2 e^{2x} \] 2. Найдем частное решение неоднородного уравнения \( y'' - 7y' + 10y = 20 \). Так как в правой части стоит константа (число 20), будем искать частное решение в виде константы: \[ y_{чн} = A \] Тогда производные будут равны: \[ y'_{чн} = 0 \] \[ y''_{чн} = 0 \] Подставим эти значения в исходное уравнение: \[ 0 - 7 \cdot 0 + 10 \cdot A = 20 \] \[ 10A = 20 \] \[ A = 2 \] Следовательно, \( y_{чн} = 2 \). 3. Запишем общее решение исходного уравнения: \[ y = C_1 e^{5x} + C_2 e^{2x} + 2 \] Ответ: \( y = C_1 e^{5x} + C_2 e^{2x} + 2 \).