Решение дифференциального уравнения y''' - 4y'' + 4y' = 0

Задание: Найти общее решение дифференциального уравнения \( y''' - 4y'' + 4y' = 0 \). Решение: Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением третьего порядка с постоянными коэффициентами. 1. Составим характеристическое уравнение, заменяя производные соответствующими степенями переменной \( k \): \[ k^3 - 4k^2 + 4k = 0 \] 2. Решим полученное алгебраическое уравнение. Для этого вынесем \( k \) за скобки: \[ k(k^2 - 4k + 4) = 0 \] Отсюда получаем первый корень: \[ k_1 = 0 \] Для выражения в скобках заметим формулу квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \): \[ k^2 - 4k + 4 = (k - 2)^2 \] \[ (k - 2)^2 = 0 \] Следовательно, мы имеем кратный корень (кратности 2): \[ k_2 = k_3 = 2 \] 3. Составим общее решение уравнения на основе найденных корней. Для корня \( k_1 = 0 \) соответствующее решение имеет вид \( C_1 e^{0 \cdot x} = C_1 \). Для кратного корня \( k = 2 \) кратности 2 соответствующее решение имеет вид \( (C_2 + C_3 x) e^{2x} \). Общее решение записывается как сумма этих решений: \[ y = C_1 + (C_2 + C_3 x) e^{2x} \] или в раскрытом виде: \[ y = C_1 + C_2 e^{2x} + C_3 x e^{2x} \] Ответ: \( y = C_1 + C_2 e^{2x} + C_3 x e^{2x} \).