Решение задачи №3 по электротехнике

Ниже представлено решение задачи №3, оформленное для переписывания в тетрадь. Задача №3 Дано: \[ \dot{U}_{ab} = 60 \text{ В} \] \[ X_L = 3 \text{ Ом} \] Режим: резонанс токов. Найти: комплекс действующего значения тока \( \dot{I} \). Решение: 1. Анализ схемы и условия резонанса. В данной цепи параллельно соединены две ветви: первая с емкостным сопротивлением \( X_C \) и вторая с последовательно соединенными индуктивным сопротивлением \( X_L \) и активным сопротивлением \( R = 4 \text{ Ом} \). Резонанс токов в такой цепи наступает, когда реактивная составляющая общей проводимости цепи равна нулю. Однако, исходя из условий подобных задач в школьном и студенческом курсе, под резонансом токов часто подразумевается равенство модулей реактивных сопротивлений ветвей или равенство реактивных токов. 2. Найдем полное сопротивление второй (правой) ветви: \[ \underline{Z}_2 = R + jX_L = 4 + j3 \text{ Ом} \] Модуль этого сопротивления: \[ Z_2 = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \text{ Ом} \] 3. Найдем ток во второй ветви: Примем начальную фазу напряжения за ноль, тогда \( \dot{U}_{ab} = 60 \text{ В} \). \[ \dot{I}_2 = \frac{\dot{U}_{ab}}{\underline{Z}_2} = \frac{60}{4 + j3} \] Умножим числитель и знаменатель на сопряженное число: \[ \dot{I}_2 = \frac{60(4 - j3)}{4^2 + 3^2} = \frac{240 - j180}{25} = 9,6 - j7,2 \text{ А} \] 4. Условие резонанса токов. При резонансе токов в неразветвленной части цепи ток должен совпадать по фазе с напряжением (быть чисто активным). Это значит, что мнимая часть общего тока должна быть равна нулю. Общий ток равен: \[ \dot{I} = \dot{I}_1 + \dot{I}_2 \] Ток в первой ветви (емкостной): \[ \dot{I}_1 = \frac{\dot{U}_{ab}}{-jX_C} = j \frac{60}{X_C} \] Тогда общий ток: \[ \dot{I} = j \frac{60}{X_C} + 9,6 - j7,2 = 9,6 + j \left( \frac{60}{X_C} - 7,2 \right) \] Для резонанса необходимо, чтобы мнимая часть была равна нулю: \[ \frac{60}{X_C} - 7,2 = 0 \Rightarrow \frac{60}{X_C} = 7,2 \Rightarrow X_C = \frac{60}{7,2} \approx 8,33 \text{ Ом} \] 5. Нахождение искомого тока. При выполнении условия резонанса мнимая часть зануляется, и остается только вещественная часть: \[ \dot{I} = 9,6 \text{ А} \] Ответ: \( \dot{I} = 9,6 \text{ А} \).