Решение задачи про лифт с пружиной

Задача 3. Один конец пружинки жесткостью 100 Н/м привязан к потолку лифта, а к другому концу привязана гирька массой 100 г. Определить величину ускорения лифта, если пружинка удлинилась при движении лифта на 0,2 см. Решение: Сначала запишем, что нам дано, и переведем все величины в систему СИ: Жесткость пружины: \(k = 100\) Н/м Масса гирьки: \(m = 100\) г \( = 0,1\) кг Удлинение пружины при движении лифта: \(\Delta x_2 = 0,2\) см \( = 0,002\) м Ускорение свободного падения: \(g \approx 10\) м/с\(^2\) Нам нужно определить величину ускорения лифта \(a\). 1. Определим начальное удлинение пружины, когда лифт находится в покое (или движется равномерно). В этом случае на гирьку действуют две силы: сила тяжести, направленная вниз, и сила упругости пружины, направленная вверх. Поскольку гирька находится в равновесии, эти силы равны по величине: \[F_{упр1} = F_{тяж}\] \[k \cdot \Delta x_1 = m \cdot g\] Отсюда найдем начальное удлинение \(\Delta x_1\): \[\Delta x_1 = \frac{m \cdot g}{k}\] Подставим значения: \[\Delta x_1 = \frac{0,1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{100 \text{ Н/м}} = \frac{1 \text{ Н}}{100 \text{ Н/м}} = 0,01 \text{ м}\] Это удлинение пружины, когда лифт не движется с ускорением. 2. Определим полное удлинение пружины при движении лифта. В задаче сказано, что пружинка удлинилась *при движении лифта* на 0,2 см. Это означает, что это дополнительное удлинение к уже существующему начальному удлинению. Полное удлинение пружины: \(\Delta x_{полное} = \Delta x_1 + \Delta x_2\) \[\Delta x_{полное} = 0,01 \text{ м} + 0,002 \text{ м} = 0,012 \text{ м}\] 3. Рассмотрим силы, действующие на гирьку, когда лифт движется с ускорением. На гирьку по-прежнему действуют сила тяжести \(F_{тяж} = m \cdot g\), направленная вниз, и сила упругости пружины \(F_{упр2} = k \cdot \Delta x_{полное}\), направленная вверх. По второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил равна произведению массы гирьки на ускорение лифта: \[F_{упр2} - F_{тяж} = m \cdot a\] (Мы предполагаем, что лифт движется вверх с ускорением, так как пружина дополнительно удлинилась. Если бы лифт двигался вниз с ускорением, пружина бы сжалась или удлинилась меньше, чем в покое.) 4. Подставим выражения для сил и найдем ускорение \(a\): \[k \cdot \Delta x_{полное} - m \cdot g = m \cdot a\] Выразим ускорение \(a\): \[a = \frac{k \cdot \Delta x_{полное} - m \cdot g}{m}\] Подставим значения: \[a = \frac{100 \text{ Н/м} \cdot 0,012 \text{ м} - 0,1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{0,1 \text{ кг}}\] \[a = \frac{1,2 \text{ Н} - 1 \text{ Н}}{0,1 \text{ кг}}\] \[a = \frac{0,2 \text{ Н}}{0,1 \text{ кг}}\] \[a = 2 \text{ м/с}^2\] Таким образом, лифт движется вверх с ускорением 2 м/с\(^2\). Ответ: Величина ускорения лифта равна 2 м/с\(^2\).