Решение задачи 5-2-3-20: кручение стержня

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы его было удобно переписать в тетрадь школьнику.

Задача 5-2-3-20

Условие:

К стержню круглого поперечного сечения, защемленному правым концом, приложены две одинаковые крутящие пары сил \(M\) (см. рисунок). Диаметр левого участка стержня 40 мм, диаметр правого участка 60 мм. Наибольшее касательное напряжение в стержне на правом участке 800 кг/см². Чему равно наибольшее касательное напряжение на левом участке стержня?

Дано:

• Диаметр левого участка: \(d_1 = 40 \text{ мм}\)
• Диаметр правого участка: \(d_2 = 60 \text{ мм}\)
• Наибольшее касательное напряжение на правом участке: \(\tau_{max2} = 800 \text{ кг/см}^2\)
• Крутящие моменты: \(M_1 = M_2 = M\) (по условию, две одинаковые крутящие пары сил \(M\))

Найти:

• Наибольшее касательное напряжение на левом участке: \(\tau_{max1}\)

Решение:

1. Переведем диаметры в сантиметры, так как напряжение дано в кг/см²:

\[d_1 = 40 \text{ мм} = 4 \text{ см}\] \[d_2 = 60 \text{ мм} = 6 \text{ см}\]

2. Для стержня круглого поперечного сечения наибольшее касательное напряжение при кручении определяется по формуле:

\[\tau_{max} = \frac{M_k}{W_p}\]

где \(M_k\) – крутящий момент в сечении, а \(W_p\) – полярный момент сопротивления сечения.

3. Полярный момент сопротивления для круглого сечения рассчитывается по формуле:

\[W_p = \frac{\pi d^3}{16}\]

где \(d\) – диаметр сечения.

4. Запишем формулы для наибольших касательных напряжений на левом и правом участках:

Для левого участка:

\[\tau_{max1} = \frac{M_{k1}}{W_{p1}} = \frac{M_{k1}}{\frac{\pi d_1^3}{16}}\]

Для правого участка:

\[\tau_{max2} = \frac{M_{k2}}{W_{p2}} = \frac{M_{k2}}{\frac{\pi d_2^3}{16}}\]

5. Определим крутящие моменты в сечениях. Стержень защемлен правым концом. Приложены две одинаковые крутящие пары сил \(M\). На правом участке (между точкой приложения второго момента и заделкой) крутящий момент равен \(M_{k2} = M\).

На левом участке (между точкой приложения первого момента и точкой приложения второго момента) крутящий момент равен \(M_{k1} = M + M = 2M\).

6. Подставим значения крутящих моментов в формулы для напряжений:

\[\tau_{max1} = \frac{2M}{\frac{\pi d_1^3}{16}}\] \[\tau_{max2} = \frac{M}{\frac{\pi d_2^3}{16}}\]

7. Выразим \(M\) из формулы для \(\tau_{max2}\):

\[M = \tau_{max2} \cdot \frac{\pi d_2^3}{16}\]

8. Подставим это выражение для \(M\) в формулу для \(\tau_{max1}\):

\[\tau_{max1} = \frac{2 \cdot \left(\tau_{max2} \cdot \frac{\pi d_2^3}{16}\right)}{\frac{\pi d_1^3}{16}}\]

9. Сократим \(\frac{\pi}{16}\):

\[\tau_{max1} = 2 \cdot \tau_{max2} \cdot \frac{d_2^3}{d_1^3}\] \[\tau_{max1} = 2 \cdot \tau_{max2} \cdot \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^3\]

10. Подставим числовые значения:

\[\tau_{max1} = 2 \cdot 800 \text{ кг/см}^2 \cdot \left(\frac{6 \text{ см}}{4 \text{ см}}\right)^3\] \[\tau_{max1} = 1600 \text{ кг/см}^2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^3\] \[\tau_{max1} = 1600 \text{ кг/см}^2 \cdot \frac{27}{8}\] \[\tau_{max1} = 200 \text{ кг/см}^2 \cdot 27\] \[\tau_{max1} = 5400 \text{ кг/см}^2\]

Ответ:

Наибольшее касательное напряжение на левом участке стержня равно 5400 кг/см².