Решение задачи по сопромату (растяжение-сжатие) - Вариант №6

Для решения задачи по сопротивлению материалов (растяжение-сжатие) выпишем исходные данные согласно варианту №6 из таблицы 1.2 и схеме №6. Дано: \[ P = 15 \text{ кН} = 15 \cdot 10^3 \text{ Н} \] \[ l = 300 \text{ мм} = 0,3 \text{ м} \] \[ A = 200 \text{ мм}^2 = 200 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 \] \[ E = 2 \cdot 10^5 \text{ МПа} = 2 \cdot 10^{11} \text{ Па} \] Характеристики участков (справа налево): 1 участок (свободный край): длина \( l \), площадь \( A \), сила на конце \( 3P \). 2 участок (средний): длина \( l \), площадь \( 1,5A \). 3 участок (у заделки): длина \( l \), площадь \( 2A \), в начале участка приложена сила \( 5P \). Решение: 1. Определение нормальных сил \( N \) по участкам (метод сечений, идем от свободного конца): Участок 1 (от \( 0 \) до \( l \)): \[ N_1 = 3P = 3 \cdot 15 = 45 \text{ кН} \] (растяжение) Участок 2 (от \( l \) до \( 2l \)): Внешних сил между 1 и 2 участком нет, поэтому: \[ N_2 = N_1 = 45 \text{ кН} \] Участок 3 (от \( 2l \) до \( 3l \)): Добавляется сила \( 5P \), направленная влево (сжатие): \[ N_3 = 3P - 5P = -2P = -2 \cdot 15 = -30 \text{ кН} \] (сжатие) 2. Определение нормальных напряжений \( \sigma \): \[ \sigma = \frac{N}{A_{факт}} \] Участок 1: \[ \sigma_1 = \frac{N_1}{A} = \frac{45 \cdot 10^3}{200 \cdot 10^{-6}} = 225 \cdot 10^6 \text{ Па} = 225 \text{ МПа} \] Участок 2: \[ \sigma_2 = \frac{N_2}{1,5A} = \frac{45 \cdot 10^3}{1,5 \cdot 200 \cdot 10^{-6}} = \frac{45 \cdot 10^3}{300 \cdot 10^{-6}} = 150 \cdot 10^6 \text{ Па} = 150 \text{ МПа} \] Участок 3: \[ \sigma_3 = \frac{N_3}{2A} = \frac{-30 \cdot 10^3}{2 \cdot 200 \cdot 10^{-6}} = \frac{-30 \cdot 10^3}{400 \cdot 10^{-6}} = -75 \cdot 10^6 \text{ Па} = -75 \text{ МПа} \] 3. Расчет перемещения свободного конца бруса \( \Delta L \): Перемещение равно сумме удлинений/укорочений всех участков: \[ \Delta L = \sum \frac{N_i \cdot l_i}{E \cdot A_i} = \frac{l}{E} \left( \frac{N_1}{A} + \frac{N_2}{1,5A} + \frac{N_3}{2A} \right) \] Заметим, что выражения в скобках — это уже посчитанные напряжения \( \sigma \): \[ \Delta L = \frac{l}{E} (\sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3) \] \[ \Delta L = \frac{0,3}{2 \cdot 10^{11}} (225 + 150 - 75) \cdot 10^6 \] \[ \Delta L = \frac{0,3 \cdot 300 \cdot 10^6}{2 \cdot 10^{11}} = \frac{90 \cdot 10^6}{2 \cdot 10^{11}} = 45 \cdot 10^{-5} \text{ м} \] \[ \Delta L = 0,45 \text{ мм} \] Ответ: Эпюра \( N \): 45 кН; 45 кН; -30 кН. Эпюра \( \sigma \): 225 МПа; 150 МПа; -75 МПа. Перемещение свободного конца: 0,45 мм. Для оформления в тетради: Начертите под схемой бруса две оси. На первой (эпюра \( N \)) отложите вверх прямоугольники со значениями 45 и 45, а затем вниз со значением 30. На второй (эпюра \( \sigma \)) аналогично отложите вверх 225 и 150, а вниз 75. Подпишите единицы измерения.