Решение задачи линейного программирования геометрическим методом. Задача 131

Задача 131. Нам нужно найти максимальное значение функции \(L = -2x_1 + x_2\) при следующих ограничениях: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 \ge 3 \\ x_1 + x_2 \le 7 \\ x_1 \le 6 \\ x_2 \le 3 \\ x_1 \ge 0 \\ x_2 \ge 0 \end{cases} \] Решим эту задачу геометрическим способом. 1. Построим область допустимых решений (ОДР). Для этого построим прямые, соответствующие каждому ограничению, и определим полуплоскости. * \(x_1 + x_2 \ge 3\): Прямая \(x_1 + x_2 = 3\). Проходит через точки (3,0) и (0,3). Область выше или на этой прямой. * \(x_1 + x_2 \le 7\): Прямая \(x_1 + x_2 = 7\). Проходит через точки (7,0) и (0,7). Область ниже или на этой прямой. * \(x_1 \le 6\): Прямая \(x_1 = 6\). Вертикальная прямая. Область левее или на этой прямой. * \(x_2 \le 3\): Прямая \(x_2 = 3\). Горизонтальная прямая. Область ниже или на этой прямой. * \(x_1 \ge 0\): Ось \(Oy\) и область справа от нее. * \(x_2 \ge 0\): Ось \(Ox\) и область выше нее. Область допустимых решений будет многоугольником, образованным пересечением всех этих полуплоскостей. 2. Найдем вершины этого многоугольника. * Пересечение \(x_1 + x_2 = 3\) и \(x_1 = 0\): \(x_2 = 3\). Точка A(0, 3). * Пересечение \(x_1 + x_2 = 3\) и \(x_2 = 0\): \(x_1 = 3\). Точка B(3, 0). * Пересечение \(x_1 + x_2 = 7\) и \(x_2 = 0\): \(x_1 = 7\). Но у нас есть ограничение \(x_1 \le 6\). * Пересечение \(x_1 + x_2 = 7\) и \(x_1 = 6\): \(6 + x_2 = 7 \Rightarrow x_2 = 1\). Точка C(6, 1). * Пересечение \(x_1 = 6\) и \(x_2 = 3\): Точка D(6, 3). * Пересечение \(x_1 + x_2 = 7\) и \(x_2 = 3\): \(x_1 + 3 = 7 \Rightarrow x_1 = 4\). Точка E(4, 3). * Пересечение \(x_1 + x_2 = 3\) и \(x_2 = 3\): \(x_1 + 3 = 3 \Rightarrow x_1 = 0\). Точка A(0, 3). * Пересечение \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 0\): Точка (0,0) - но она не входит в ОДР из-за \(x_1+x_2 \ge 3\). Вершины многоугольника ОДР: * A(0, 3) * B(3, 0) * C(6, 1) * D(6, 3) * E(4, 3) Проверим, что все эти точки удовлетворяют всем ограничениям: * A(0,3): \(0+3 \ge 3\) (да), \(0+3 \le 7\) (да), \(0 \le 6\) (да), \(3 \le 3\) (да), \(0 \ge 0\) (да), \(3 \ge 0\) (да). * B(3,0): \(3+0 \ge 3\) (да), \(3+0 \le 7\) (да), \(3 \le 6\) (да), \(0 \le 3\) (да), \(3 \ge 0\) (да), \(0 \ge 0\) (да). * C(6,1): \(6+1 \ge 3\) (да), \(6+1 \le 7\) (да), \(6 \le 6\) (да), \(1 \le 3\) (да), \(6 \ge 0\) (да), \(1 \ge 0\) (да). * D(6,3): \(6+3 \ge 3\) (да), \(6+3 \not\le 7\) (нет). Точка D(6,3) не является вершиной ОДР. * E(4,3): \(4+3 \ge 3\) (да), \(4+3 \le 7\) (да), \(4 \le 6\) (да), \(3 \le 3\) (да), \(4 \ge 0\) (да), \(3 \ge 0\) (да). Пересмотрим вершины. * Пересечение \(x_1+x_2=3\) и \(x_1=0\): A(0,3). * Пересечение \(x_1+x_2=3\) и \(x_2=0\): B(3,0). * Пересечение \(x_1+x_2=7\) и \(x_1=6\): C(6,1). * Пересечение \(x_1=6\) и \(x_2=3\): D(6,3). * Пересечение \(x_1+x_2=7\) и \(x_2=3\): E(4,3). * Пересечение \(x_1=0\) и \(x_2=3\): A(0,3). Вершины многоугольника ОДР: * A(0, 3) * B(3, 0) * C(6, 1) * E(4, 3) Проверим точку D(6,3) еще раз. \(x_1+x_2 = 6+3 = 9\). Ограничение \(x_1+x_2 \le 7\) не выполняется. Значит, D(6,3) не входит в ОДР. Таким образом, вершины ОДР: A(0,3), B(3,0), C(6,1), E(4,3). 3. Вычислим значение целевой функции \(L = -2x_1 + x_2\) в каждой вершине: * Для A(0, 3): \(L = -2 \cdot 0 + 3 = 3\) * Для B(3, 0): \(L = -2 \cdot 3 + 0 = -6\) * Для C(6, 1): \(L = -2 \cdot 6 + 1 = -12 + 1 = -11\) * Для E(4, 3): \(L = -2 \cdot 4 + 3 = -8 + 3 = -5\) 4. Максимальное значение функции \(L\) достигается в точке, где значение \(L\) наибольшее. Сравниваем значения: \(3, -6, -11, -5\). Наибольшее значение равно 3. Ответ: Максимальное значение функции \(L = -2x_1 + x_2\) равно 3 и достигается в точке \(x_1 = 0, x_2 = 3\).