Решение задач по комплексным числам, пределам, дифференцированию и рядам

3. Понятие комплексного числа. Комплексным числом называется выражение вида \( z = a + bi \), где \( a \) и \( b \) — действительные числа, а \( i \) — мнимая единица, для которой выполняется равенство \( i^2 = -1 \). Число \( a \) называется действительной частью \( Re(z) \), а \( b \) — мнимой частью \( Im(z) \). 8. Модуль и аргумент комплексного числа. Модулем комплексного числа \( z = a + bi \) называется длина вектора, соответствующего этому числу на комплексной плоскости: \[ |z| = r = \sqrt{a^2 + b^2} \] Аргументом \( \phi = Arg(z) \) называется угол между положительным направлением действительной оси и вектором \( z \). Он определяется из системы: \[ \cos \phi = \frac{a}{r}, \sin \phi = \frac{b}{r} \] 10. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера устанавливает связь между экспонентой и тригонометрическими функциями: \[ e^{i\phi} = \cos \phi + i \sin \phi \] На ее основе получается показательная форма комплексного числа: \[ z = r \cdot e^{i\phi} \] где \( r \) — модуль, а \( \phi \) — аргумент числа. 14. Пределы, непрерывность функций. Число \( A \) называется пределом функции \( f(x) \) при \( x \to x_0 \), если для любого сколь угодно малого числа \( \epsilon > 0 \) найдется такое \( \delta > 0 \), что из \( |x - x_0| < \delta \) следует \( |f(x) - A| < \epsilon \). Функция называется непрерывной в точке \( x_0 \), если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке: \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \] 16. Правила дифференцирования. Если \( u \) и \( v \) — дифференцируемые функции, а \( C \) — константа, то: 1) \( (C)' = 0 \) 2) \( (u \pm v)' = u' \pm v' \) 3) \( (Cu)' = C \cdot u' \) 4) \( (uv)' = u'v + uv' \) 5) \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \) 32. Необходимое условие сходимости ряда. Если числовой ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) сходится, то предел его общего члена при \( n \to \infty \) равен нулю: \[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \] Если предел не равен нулю, то ряд расходится. 33. Признак Даламбера. Для ряда с положительными членами \( \sum a_n \) вычисляется предел: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \] Если \( L < 1 \), ряд сходится; если \( L > 1 \), ряд расходится; если \( L = 1 \), признак ответа не дает. 37. Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n \) сходится, если выполняются два условия: 1) Члены ряда убывают по модулю: \( a_n > a_{n+1} \) для всех \( n \). 2) Предел общего члена равен нулю: \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \). 41. Понятие о тригонометрическом ряде Фурье. Рядом Фурье для функции \( f(x) \) на отрезке \( [-\pi, \pi] \) называется ряд вида: \[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \] где \( a_n \) и \( b_n \) — коэффициенты Фурье, вычисляемые через интегралы от функции. 48. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теорема сложения: Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей: \( P(A + B) = P(A) + P(B) \). Теорема умножения: Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей: \( P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B) \). 49. Формула полной вероятности. Если событие \( A \) может произойти только вместе с одной из гипотез \( H_1, H_2, ..., H_n \), образующих полную группу, то: \[ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i) \cdot P(A|H_i) \] где \( P(H_i) \) — вероятность гипотезы, а \( P(A|H_i) \) — условная вероятность события \( A \). 54. Абсолютная и относительная погрешности приближенного числа. Абсолютная погрешность \( \Delta \) — это разность между точным значением \( X \) и приближенным \( x \): \[ \Delta = |X - x| \] Относительная погрешность \( \delta \) — это отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного числа: \[ \delta = \frac{\Delta}{|x|} \]