Решение задачи 11.24 по физике

Вот решение задачи 11.24, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь: 11.24. Два точечных заряда \(+Q\) каждый неподвижно закреплены в противоположных вершинах ромба. Расстояние между ними равно длине сторон ромба. В оставшихся вершинах размещены два точечных заряда величиной \(-q\) каждый. Если заряды \(-q\) находятся в равновесии, то чему равно отношение \(Q/q\)? Решение: 1. Нарисуем ромб и обозначим заряды. Пусть вершины ромба будут \(A, B, C, D\). Заряды \(+Q\) расположены в вершинах \(A\) и \(C\). Заряды \(-q\) расположены в вершинах \(B\) и \(D\). Расстояние между зарядами \(+Q\) (то есть диагональ \(AC\)) равно длине стороны ромба. Обозначим длину стороны ромба как \(a\). Тогда \(AC = a\). 2. Определим геометрию ромба. Если диагональ \(AC\) равна стороне ромба \(a\), то треугольники \(ABC\) и \(ADC\) являются равносторонними. Это означает, что все углы в этих треугольниках равны \(60^\circ\). Следовательно, углы ромба: \(\angle B = \angle D = 120^\circ\), а \(\angle A = \angle C = 60^\circ\). Длина малой диагонали \(BD\) может быть найдена по теореме косинусов или из свойств равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике высота (которая является половиной диагонали \(BD\)) равна \(a \frac{\sqrt{3}}{2}\). Значит, \(BD = 2 \cdot a \frac{\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}\). Расстояние от заряда \(-q\) в вершине \(B\) до заряда \(+Q\) в вершине \(A\) равно \(a\). Расстояние от заряда \(-q\) в вершине \(B\) до заряда \(+Q\) в вершине \(C\) равно \(a\). Расстояние от заряда \(-q\) в вершине \(B\) до заряда \(-q\) в вершине \(D\) равно \(a\sqrt{3}\). 3. Рассмотрим равновесие одного из зарядов \(-q\), например, в вершине \(B\). На заряд \(-q\) в точке \(B\) действуют три силы: * Сила притяжения от заряда \(+Q\) в точке \(A\), направленная к \(A\). Обозначим ее \(\vec{F}_{BA}\). * Сила притяжения от заряда \(+Q\) в точке \(C\), направленная к \(C\). Обозначим ее \(\vec{F}_{BC}\). * Сила отталкивания от заряда \(-q\) в точке \(D\), направленная от \(D\). Обозначим ее \(\vec{F}_{BD}\). 4. Вычислим модули этих сил по закону Кулона: \[F_{BA} = k \frac{|-q| \cdot |+Q|}{a^2} = k \frac{qQ}{a^2}\] \[F_{BC} = k \frac{|-q| \cdot |+Q|}{a^2} = k \frac{qQ}{a^2}\] \[F_{BD} = k \frac{|-q| \cdot |-q|}{(a\sqrt{3})^2} = k \frac{q^2}{3a^2}\] где \(k\) – постоянная Кулона. 5. Условие равновесия заряда \(-q\) в точке \(B\) означает, что векторная сумма всех сил, действующих на него, равна нулю: \[\vec{F}_{BA} + \vec{F}_{BC} + \vec{F}_{BD} = 0\] 6. Разложим силы по осям. Удобно выбрать ось \(y\) вдоль диагонали \(BD\) и ось \(x\) перпендикулярно ей. Угол между стороной ромба и диагональю \(BD\) (например, \(\angle ABD\)) равен \(60^\circ\) (поскольку \(\triangle ABD\) равносторонний, а \(BD\) - его сторона, но это не так. \(\triangle ABD\) не равносторонний. \(\triangle ABC\) равносторонний, поэтому \(\angle ABC = 60^\circ\). Диагональ \(BD\) делит угол \(\angle ABC\) пополам, если ромб является квадратом, но это не так. В нашем случае \(\angle ABC = 120^\circ\). Диагональ \(BD\) делит угол \(\angle ABC\) пополам, то есть \(\angle ABD = \angle CBD = 60^\circ\). Угол между \(\vec{F}_{BA}\) и осью \(BD\) (направленной от \(B\) к \(D\)) равен \(60^\circ\). Угол между \(\vec{F}_{BC}\) и осью \(BD\) (направленной от \(B\) к \(D\)) также равен \(60^\circ\). Сила \(\vec{F}_{BD}\) направлена вдоль оси \(BD\) (от \(B\) к \(D\)). 7. Спроектируем силы на ось \(BD\). Проекция \(\vec{F}_{BA}\) на ось \(BD\): \(F_{BA} \cos(60^\circ)\). Направление "вниз" (от \(B\) к \(D\)). Проекция \(\vec{F}_{BC}\) на ось \(BD\): \(F_{BC} \cos(60^\circ)\). Направление "вниз" (от \(B\) к \(D\)). Проекция \(\vec{F}_{BD}\) на ось \(BD\): \(F_{BD}\). Направление "вверх" (от \(D\) к \(B\)). (Внимательно с направлениями. \(\vec{F}_{BA}\) и \(\vec{F}_{BC}\) притягивают заряд \(-q\) к \(A\) и \(C\) соответственно. \(\vec{F}_{BD}\) отталкивает заряд \(-q\) от \(D\). Если ось \(BD\) направлена от \(B\) к \(D\), то \(\vec{F}_{BD}\) направлена в положительном направлении, а компоненты \(\vec{F}_{BA}\) и \(\vec{F}_{BC}\) будут иметь отрицательные проекции на эту ось.) Давайте выберем ось \(y\) вдоль \(BD\) (направленную от \(B\) к \(D\)). Проекция \(\vec{F}_{BA}\) на ось \(y\): \(-F_{BA} \cos(60^\circ)\). Проекция \(\vec{F}_{BC}\) на ось \(y\): \(-F_{BC} \cos(60^\circ)\). Проекция \(\vec{F}_{BD}\) на ось \(y\): \(F_{BD}\). Условие равновесия по оси \(y\): \[-F_{BA} \cos(60^\circ) - F_{BC} \cos(60^\circ) + F_{BD} = 0\] Поскольку \(F_{BA} = F_{BC}\), получаем: \[-2 F_{BA} \cos(60^\circ) + F_{BD} = 0\] \[F_{BD} = 2 F_{BA} \cos(60^\circ)\] Мы знаем, что \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\). \[F_{BD} = 2 F_{BA} \cdot \frac{1}{2}\] \[F_{BD} = F_{BA}\] 8. Подставим выражения для сил: \[k \frac{q^2}{3a^2} = k \frac{qQ}{a^2}\] 9. Сократим общие множители \(k\) и \(a^2\), а также \(q\) (поскольку \(q \neq 0\)): \[\frac{q}{3} = Q\] 10. Найдем отношение \(Q/q\): \[\frac{Q}{q} = \frac{q/3}{q} = \frac{1}{3}\] Проверим равновесие по оси \(x\). Ось \(x\) перпендикулярна \(BD\). Проекция \(\vec{F}_{BA}\) на ось \(x\): \(F_{BA} \sin(60^\circ)\). Проекция \(\vec{F}_{BC}\) на ось \(x\): \(-F_{BC} \sin(60^\circ)\). Проекция \(\vec{F}_{BD}\) на ось \(x\): \(0\). Сумма проекций на ось \(x\): \(F_{BA} \sin(60^\circ) - F_{BC} \sin(60^\circ) = 0\). Это равенство выполняется, так как \(F_{BA} = F_{BC}\). Таким образом, равновесие по оси \(x\) также соблюдается. Окончательный ответ: Отношение \(Q/q\) равно \(1/3\). Ответ: \(Q/q = 1/3\).