Решение задачи 12.24 по физике: потенциал металлической сферы

Вот решение задачи 12.24, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь: 12.24. Сплошная металлическая сфера радиусом \(R = 20\) см несет равномерно распределенный заряд с поверхностной плотностью \(\sigma = 10^{-9}\) Кл/м\(^2\). Определить потенциал электрического поля в точках на расстоянии \(r_1 = 16\) см от центра сферы; на поверхности сферы; на расстоянии \(r_2 = 36\) см от центра сферы. Построить график зависимости \(\varphi = f(r)\). Решение: 1. Запишем данные: Радиус сферы \(R = 20\) см \( = 0,2\) м. Поверхностная плотность заряда \(\sigma = 10^{-9}\) Кл/м\(^2\). Расстояния: \(r_1 = 16\) см \( = 0,16\) м, \(r_2 = 36\) см \( = 0,36\) м. Постоянная Кулона \(k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9\) Н \(\cdot\) м\(^2\)/Кл\(^2\). 2. Найдем полный заряд сферы \(Q\). Поверхность сферы \(S = 4\pi R^2\). Заряд \(Q = \sigma \cdot S = \sigma \cdot 4\pi R^2\). \[Q = 10^{-9} \text{ Кл/м}^2 \cdot 4\pi \cdot (0,2 \text{ м})^2 = 10^{-9} \cdot 4\pi \cdot 0,04 \text{ Кл} = 0,16\pi \cdot 10^{-9} \text{ Кл}\] \[Q \approx 0,16 \cdot 3,14159 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} \approx 0,5026 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}\] 3. Вспомним формулы для потенциала заряженной сферы: * Внутри сферы (\(r < R\)): потенциал постоянен и равен потенциалу на поверхности. \[\varphi_{\text{внутри}} = \varphi_{\text{поверхности}} = k \frac{Q}{R}\] * На поверхности сферы (\(r = R\)): \[\varphi_{\text{поверхности}} = k \frac{Q}{R}\] * Вне сферы (\(r > R\)): потенциал такой же, как у точечного заряда, расположенного в центре сферы. \[\varphi_{\text{вне}} = k \frac{Q}{r}\] 4. Вычислим потенциал в заданных точках: а) На расстоянии \(r_1 = 16\) см \( = 0,16\) м от центра сферы. Так как \(r_1 < R\) (\(0,16\) м \( < 0,2\) м), эта точка находится внутри сферы. \[\varphi_{r_1} = k \frac{Q}{R}\] Подставим значения: \[\varphi_{r_1} = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \cdot \frac{0,16\pi \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{0,2 \text{ м}}\] \[\varphi_{r_1} = 9 \cdot \frac{0,16\pi}{0,2} \text{ В} = 9 \cdot 0,8\pi \text{ В} = 7,2\pi \text{ В}\] \[\varphi_{r_1} \approx 7,2 \cdot 3,14159 \text{ В} \approx 22,62 \text{ В}\] б) На поверхности сферы (\(r = R = 0,2\) м). \[\varphi_{\text{поверхности}} = k \frac{Q}{R}\] Это то же самое значение, что и внутри сферы: \[\varphi_{\text{поверхности}} = 7,2\pi \text{ В} \approx 22,62 \text{ В}\] в) На расстоянии \(r_2 = 36\) см \( = 0,36\) м от центра сферы. Так как \(r_2 > R\) (\(0,36\) м \( > 0,2\) м), эта точка находится вне сферы. \[\varphi_{r_2} = k \frac{Q}{r_2}\] Подставим значения: \[\varphi_{r_2} = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \cdot \frac{0,16\pi \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{0,36 \text{ м}}\] \[\varphi_{r_2} = 9 \cdot \frac{0,16\pi}{0,36} \text{ В} = 9 \cdot \frac{16\pi}{36} \text{ В} = 9 \cdot \frac{4\pi}{9} \text{ В} = 4\pi \text{ В}\] \[\varphi_{r_2} \approx 4 \cdot 3,14159 \text{ В} \approx 12,57 \text{ В}\] 5. Построим график зависимости \(\varphi = f(r)\). * Для \(r \le R\): \(\varphi(r) = k \frac{Q}{R} = \text{const}\). График представляет собой горизонтальную прямую. * Для \(r > R\): \(\varphi(r) = k \frac{Q}{r}\). График представляет собой гиперболу, убывающую с увеличением \(r\). Значения для графика: При \(r = 0\) (в центре) \(\varphi = 7,2\pi \text{ В}\). При \(r = 0,16\) м (внутри) \(\varphi = 7,2\pi \text{ В}\). При \(r = 0,2\) м (на поверхности) \(\varphi = 7,2\pi \text{ В}\). При \(r = 0,36\) м (вне) \(\varphi = 4\pi \text{ В}\). График будет выглядеть следующим образом: На оси абсцисс откладываем расстояние \(r\) (в метрах), на оси ординат – потенциал \(\varphi\) (в вольтах). От \(r = 0\) до \(r = 0,2\) м (радиус сферы) потенциал постоянен и равен примерно \(22,62\) В. Начиная с \(r = 0,2\) м, потенциал начинает убывать по закону \(1/r\). Например, при \(r = 0,2\) м, \(\varphi \approx 22,62\) В. При \(r = 0,36\) м, \(\varphi \approx 12,57\) В. При \(r \to \infty\), \(\varphi \to 0\). (Здесь я не могу нарисовать график, но могу описать его словами, как это будет выглядеть в тетради). Начертите координатные оси. Ось \(r\) горизонтально, ось \(\varphi\) вертикально. Отметьте на оси \(r\) точку \(R = 0,2\) м. Отметьте на оси \(\varphi\) значение \(7,2\pi \approx 22,62\) В. Проведите горизонтальную линию от \(r=0\) до \(r=R\) на уровне \(7,2\pi\) В. От точки \((R, 7,2\pi)\) проведите кривую, которая убывает с увеличением \(r\) и стремится к нулю при \(r \to \infty\). Эта кривая должна проходить через точку \((0,36 \text{ м}, 4\pi \text{ В})\). Ответ: 1. Потенциал на расстоянии \(r_1 = 16\) см от центра сферы: \(\varphi_{r_1} = 7,2\pi \text{ В} \approx 22,62 \text{ В}\). 2. Потенциал на поверхности сферы: \(\varphi_{\text{поверхности}} = 7,2\pi \text{ В} \approx 22,62 \text{ В}\). 3. Потенциал на расстоянии \(r_2 = 36\) см от центра сферы: \(\varphi_{r_2} = 4\pi \text{ В} \approx 12,57 \text{ В}\). 4. График зависимости \(\varphi = f(r)\): * Для \(r \le R\), \(\varphi(r) = \text{const} = 7,2\pi \text{ В}\). * Для \(r > R\), \(\varphi(r) = k \frac{Q}{r}\).