Решение задачи по технической механике: реакции опор балки

Ниже представлено решение задачи по технической механике на определение реакций опор балки. Оформление выполнено так, чтобы его было удобно переписать в тетрадь. Задача: Рассчитать реакции опор балки. Дано: \(a = 0,3\) м \(b = 0,5\) м \(c = 0,2\) м \(F_1 = 46\) кН \(F_2 = 80\) кН Найти: \(R_A, R_B\) — ? Решение: 1. Заменим опоры их реакциями. В точке А (шарнирно-неподвижная опора) направим реакцию \(R_A\) вертикально вверх. В точке В (шарнирно-подвижная опора) направим реакцию \(R_B\) вертикально вверх. 2. Составим уравнения равновесия для данной системы сил. Сумма моментов всех сил относительно точек опор должна быть равна нулю. 3. Составим уравнение моментов относительно точки А: \[ \sum M_A = 0 \] \[ F_1 \cdot a - F_2 \cdot (a + b) + R_B \cdot (a + b + c) = 0 \] Выразим \(R_B\): \[ R_B = \frac{F_2 \cdot (a + b) - F_1 \cdot a}{a + b + c} \] Подставим числовые значения: \[ R_B = \frac{80 \cdot (0,3 + 0,5) - 46 \cdot 0,3}{0,3 + 0,5 + 0,2} \] \[ R_B = \frac{80 \cdot 0,8 - 13,8}{1,0} \] \[ R_B = \frac{64 - 13,8}{1} = 50,2 \text{ кН} \] 4. Составим уравнение моментов относительно точки В: \[ \sum M_B = 0 \] \[ -R_A \cdot (a + b + c) + F_1 \cdot (b + c) - F_2 \cdot c = 0 \] Выразим \(R_A\): \[ R_A = \frac{F_1 \cdot (b + c) - F_2 \cdot c}{a + b + c} \] Подставим числовые значения: \[ R_A = \frac{46 \cdot (0,5 + 0,2) - 80 \cdot 0,2}{0,3 + 0,5 + 0,2} \] \[ R_A = \frac{46 \cdot 0,7 - 16}{1,0} \] \[ R_A = \frac{32,2 - 16}{1} = 16,2 \text{ кН} \] 5. Проверка. Сумма всех вертикальных сил должна быть равна нулю: \[ \sum F_y = R_A + F_1 - F_2 + R_B = 0 \] \[ 16,2 + 46 - 80 + 50,2 = 62,2 - 80 + 50,2 = 112,4 - 80 \neq 0 \] Перепроверим знаки сил согласно схеме: Сила \(F_1\) направлена вверх, \(F_2\) направлена вниз. \[ \sum F_y = R_A + F_1 - F_2 + R_B = 16,2 + 46 - 80 + 50,2 = 32,4 \text{ (ошибка в знаках или схеме)} \] Внимательно посмотрим на схему: \(F_1\) направлена вверх, \(F_2\) вниз. Уравнение моментов относительно А: \(F_1\) вращает против часовой (+), \(F_2\) по часовой (-), \(R_B\) против часовой (+). \[ 46 \cdot 0,3 - 80 \cdot 0,8 + R_B \cdot 1,0 = 0 \] \[ 13,8 - 64 + R_B = 0 \Rightarrow R_B = 50,2 \text{ кН} \] Уравнение моментов относительно В: \(R_A\) вращает по часовой (-), \(F_1\) по часовой (-), \(F_2\) против часовой (+). \[ -R_A \cdot 1,0 - 46 \cdot 0,7 + 80 \cdot 0,2 = 0 \] \[ -R_A - 32,2 + 16 = 0 \Rightarrow R_A = -16,2 \text{ кН} \] Отрицательный знак \(R_A\) означает, что реакция на самом деле направлена вниз. Проверка: \[ \sum F_y = -16,2 + 46 - 80 + 50,2 = 0 \] \[ 0 = 0 \] Решение верно. Ответ: \(R_A = -16,2\) кН (направлена вниз), \(R_B = 50,2\) кН (направлена вверх).