Решение задачи по Техмеху: Определение реакций опор балки

Задача 1-2. Определение реакций опор балочной системы. Дано: \(q = 10 \, \text{кН/м}\) \(F = 10 \, \text{кН}\) \(M = 10 \, \text{кНм}\) \(\alpha = 30^{\circ}\) Длины участков: \(l_1 = 4 \, \text{м}\), \(l_2 = 3 \, \text{м}\), \(l_3 = 3 \, \text{м}\). Решение: 1. Обозначим опоры: левая опора (шарнирно-неподвижная) — точка А, правая опора (шарнирно-подвижная) — точка В. В опоре А возникают две реакции: вертикальная \(R_{Ay}\) и горизонтальная \(R_{Ax}\). В опоре В возникает одна вертикальная реакция \(R_B\). 2. Заменим распределенную нагрузку \(q\) сосредоточенной силой \(Q\): \[Q = q \cdot l_1 = 10 \cdot 4 = 40 \, \text{кН}\] Сила \(Q\) приложена посередине первого участка, то есть на расстоянии 2 м от точки А. 3. Разложим силу \(F\) на составляющие: \[F_x = F \cdot \sin(30^{\circ}) = 10 \cdot 0,5 = 5 \, \text{кН}\] \[F_y = F \cdot \cos(30^{\circ}) = 10 \cdot 0,866 = 8,66 \, \text{кН}\] 4. Составим уравнение моментов относительно точки А (\(\sum M_A = 0\)): Направление против часовой стрелки берем со знаком «плюс». \[Q \cdot 2 + F_y \cdot 7 + M - R_B \cdot 10 = 0\] \[40 \cdot 2 + 8,66 \cdot 7 + 10 - R_B \cdot 10 = 0\] \[80 + 60,62 + 10 = 10 \cdot R_B\] \[150,62 = 10 \cdot R_B\] \[R_B = 15,06 \, \text{кН}\] 5. Составим уравнение проекций сил на ось Y (\(\sum F_y = 0\)): \[R_{Ay} - Q - F_y + R_B = 0\] \[R_{Ay} = Q + F_y - R_B\] \[R_{Ay} = 40 + 8,66 - 15,06 = 33,6 \, \text{кН}\] 6. Составим уравнение проекций сил на ось X (\(\sum F_x = 0\)): \[R_{Ax} - F_x = 0\] \[R_{Ax} = F_x = 5 \, \text{кН}\] 7. Проверка (\(\sum M_B = 0\)): \[-R_{Ay} \cdot 10 + Q \cdot 8 + F_y \cdot 3 + M = 0\] \[-33,6 \cdot 10 + 40 \cdot 8 + 8,66 \cdot 3 + 10 = -336 + 320 + 25,98 + 10 \approx 0\] (Небольшая погрешность вызвана округлением \(\cos 30^{\circ}\)). Ответ: \(R_{Ax} = 5 \, \text{кН}\), \(R_{Ay} = 33,6 \, \text{кН}\), \(R_B = 15,06 \, \text{кН}\).