Решение задачи: √21*6*7*8 и √1 57/64

Хорошо, давайте решим задачи из "Варианта 2" и "Варианта 3". Вариант 2 1. Найдите значения выражений: а) \( \sqrt{21 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8} \) б) \( \sqrt{1 \frac{57}{64}} \) Решение: а) \( \sqrt{21 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot (2^3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = \sqrt{(2^2)^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84 \) Ответ: 84 б) \( \sqrt{1 \frac{57}{64}} = \sqrt{\frac{1 \cdot 64 + 57}{64}} = \sqrt{\frac{64 + 57}{64}} = \sqrt{\frac{121}{64}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{64}} = \frac{11}{8} = 1 \frac{3}{8} \) Ответ: \( 1 \frac{3}{8} \) 2. Упростите: \( (\sqrt{6} - 3\sqrt{3} + 5\sqrt{2} - \frac{1}{2}\sqrt{8}) \cdot 2\sqrt{6} \) Решение: Сначала упростим \( \frac{1}{2}\sqrt{8} \): \( \frac{1}{2}\sqrt{8} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 2} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} = \sqrt{2} \) Теперь подставим это обратно в выражение: \( (\sqrt{6} - 3\sqrt{3} + 5\sqrt{2} - \sqrt{2}) \cdot 2\sqrt{6} \) \( (\sqrt{6} - 3\sqrt{3} + 4\sqrt{2}) \cdot 2\sqrt{6} \) Раскроем скобки, умножая каждый член в скобках на \( 2\sqrt{6} \): \( \sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6} - 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} + 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{6} \) \( 2 \cdot (\sqrt{6})^2 - 6\sqrt{3 \cdot 6} + 8\sqrt{2 \cdot 6} \) \( 2 \cdot 6 - 6\sqrt{18} + 8\sqrt{12} \) \( 12 - 6\sqrt{9 \cdot 2} + 8\sqrt{4 \cdot 3} \) \( 12 - 6 \cdot 3\sqrt{2} + 8 \cdot 2\sqrt{3} \) \( 12 - 18\sqrt{2} + 16\sqrt{3} \) Ответ: \( 12 - 18\sqrt{2} + 16\sqrt{3} \) 3. Вынесите множитель за знак корня \( \sqrt{32a^3b^{10}} \) при \( b \le 0 \). Решение: Разложим числа и степени на множители: \( \sqrt{32a^3b^{10}} = \sqrt{16 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot a \cdot (b^5)^2} \) Вынесем множители из-под корня: \( \sqrt{16} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{(b^5)^2} \cdot \sqrt{2a} \) \( 4 \cdot |a| \cdot |b^5| \cdot \sqrt{2a} \) Поскольку \( b \le 0 \), то \( b^5 \) также будет неположительным (отрицательным или нулем). Значит, \( |b^5| = -b^5 \). Про \( a \) ничего не сказано, поэтому \( |a| \) остается. Для того чтобы корень был определен, \( 2a \ge 0 \), значит \( a \ge 0 \). В этом случае \( |a| = a \). Итак, при \( a \ge 0 \) и \( b \le 0 \): \( 4 \cdot a \cdot (-b^5) \cdot \sqrt{2a} = -4ab^5\sqrt{2a} \) Ответ: \( -4ab^5\sqrt{2a} \) 4. Внесите множитель под знак корня \( -6\sqrt{3} \). Решение: Чтобы внести отрицательный множитель под знак корня, мы должны оставить минус перед корнем, а сам множитель возвести в квадрат и внести под корень. \( -6\sqrt{3} = -\sqrt{6^2 \cdot 3} = -\sqrt{36 \cdot 3} = -\sqrt{108} \) Ответ: \( -\sqrt{108} \) 5. Сократите дробь: а) \( \frac{m+\sqrt{3}}{m^2-3} \) б) \( \frac{a-2\sqrt{5a}+5}{a-5} \) Решение: а) \( \frac{m+\sqrt{3}}{m^2-3} \) Знаменатель можно разложить как разность квадратов: \( m^2 - 3 = m^2 - (\sqrt{3})^2 = (m-\sqrt{3})(m+\sqrt{3}) \) Тогда дробь будет: \( \frac{m+\sqrt{3}}{(m-\sqrt{3})(m+\sqrt{3})} \) Сокращаем на \( (m+\sqrt{3}) \): \( \frac{1}{m-\sqrt{3}} \) Ответ: \( \frac{1}{m-\sqrt{3}} \) б) \( \frac{a-2\sqrt{5a}+5}{a-5} \) Числитель можно представить как квадрат разности: \( a - 2\sqrt{5a} + 5 = (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{5})^2 \) Знаменатель можно представить как разность квадратов: \( a - 5 = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{5})(\sqrt{a}+\sqrt{5}) \) Тогда дробь будет: \( \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{5})^2}{(\sqrt{a}-\sqrt{5})(\sqrt{a}+\sqrt{5})} \) Сокращаем на \( (\sqrt{a}-\sqrt{5}) \): \( \frac{\sqrt{a}-\sqrt{5}}{\sqrt{a}+\sqrt{5}} \) Ответ: \( \frac{\sqrt{a}-\sqrt{5}}{\sqrt{a}+\sqrt{5}} \) 6. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: а) \( \frac{3}{2\sqrt{3}} \) б) \( \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \) Решение: а) \( \frac{3}{2\sqrt{3}} \) Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \): \( \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) б) \( \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \) Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя, то есть на \( \sqrt{5}+\sqrt{3} \): \( \frac{2 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = \sqrt{5}+\sqrt{3} \) Ответ: \( \sqrt{5}+\sqrt{3} \) Вариант 3 1. Упростите: а) \( \sqrt{63} - 3\sqrt{1,75} - 0,5\sqrt{343} + \sqrt{112} \) б) \( (3\sqrt{5}-2)(3\sqrt{5}-1) \) Решение: а) \( \sqrt{63} - 3\sqrt{1,75} - 0,5\sqrt{343} + \sqrt{112} \) Упростим каждый корень: \( \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7} \) \( \sqrt{1,75} = \sqrt{\frac{175}{100}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 7}{100}} = \frac{5\sqrt{7}}{10} = \frac{\sqrt{7}}{2} \) \( 3\sqrt{1,75} = 3 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{3\sqrt{7}}{2} \) \( \sqrt{343} = \sqrt{49 \cdot 7} = 7\sqrt{7} \) \( 0,5\sqrt{343} = 0,5 \cdot 7\sqrt{7} = 3,5\sqrt{7} = \frac{7\sqrt{7}}{2} \) \( \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7} \) Теперь подставим упрощенные корни обратно в выражение: \( 3\sqrt{7} - \frac{3\sqrt{7}}{2} - \frac{7\sqrt{7}}{2} + 4\sqrt{7} \) Приведем к общему знаменателю (2): \( \frac{6\sqrt{7}}{2} - \frac{3\sqrt{7}}{2} - \frac{7\sqrt{7}}{2} + \frac{8\sqrt{7}}{2} \) \( \frac{(6 - 3 - 7 + 8)\sqrt{7}}{2} = \frac{(3 - 7 + 8)\sqrt{7}}{2} = \frac{(-4 + 8)\sqrt{7}}{2} = \frac{4\sqrt{7}}{2} = 2\sqrt{7} \) Ответ: \( 2\sqrt{7} \) б) \( (3\sqrt{5}-2)(3\sqrt{5}-1) \) Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов: \( (3\sqrt{5}) \cdot (3\sqrt{5}) + (3\sqrt{5}) \cdot (-1) + (-2) \cdot (3\sqrt{5}) + (-2) \cdot (-1) \) \( 9 \cdot (\sqrt{5})^2 - 3\sqrt{5} - 6\sqrt{5} + 2 \) \( 9 \cdot 5 - 9\sqrt{5} + 2 \) \( 45 - 9\sqrt{5} + 2 \) \( 47 - 9\sqrt{5} \) Ответ: \( 47 - 9\sqrt{5} \) 2. Вынесите множитель за знак корня: а) \( \sqrt{1152} \) б) \( \sqrt{-8c^7b^3} \) при \( c < 0; b > 0 \). Решение: а) \( \sqrt{1152} \) Разложим 1152 на простые множители или найдем наибольший квадратный множитель: \( 1152 = 2 \cdot 576 = 2 \cdot 24^2 \) \( \sqrt{1152} = \sqrt{24^2 \cdot 2} = 24\sqrt{2} \) Ответ: \( 24\sqrt{2} \) б) \( \sqrt{-8c^7b^3} \) при \( c < 0; b > 0 \). Для того чтобы выражение под корнем было неотрицательным, \( -8c^7b^3 \ge 0 \). Поскольку \( b > 0 \), то \( b^3 > 0 \). Поскольку \( c < 0 \), то \( c^7 \) будет отрицательным. Тогда \( -8c^7b^3 \) будет \( (- \text{отрицательное число}) \cdot (\text{отрицательное число}) \cdot (\text{положительное число}) = (\text{положительное число}) \cdot (\text{положительное число}) = \text{положительное число} \). Значит, корень определен. Разложим множители: \( \sqrt{-8c^7b^3} = \sqrt{-4 \cdot 2 \cdot c^6 \cdot c \cdot b^2 \cdot b} \) Вынесем квадраты из-под корня: \( \sqrt{4c^6b^2 \cdot (-2cb)} = \sqrt{(2c^3b)^2 \cdot (-2cb)} \) \( |2c^3b|\sqrt{-2cb} \) Теперь учтем условия \( c < 0 \) и \( b > 0 \): \( c^3 \) будет отрицательным. \( 2c^3b \) будет \( (\text{положительное}) \cdot (\text{отрицательное}) \cdot (\text{положительное}) = \text{отрицательное} \). Значит, \( |2c^3b| = -(2c^3b) = -2c^3b \). Окончательный ответ: \( -2c^3b\sqrt{-2cb} \) Ответ: \( -2c^3b\sqrt{-2cb} \) 3. Внесите множитель под знак корня: а) \( (3-\sqrt{10})\sqrt{2} \) б) \( (x-y)\sqrt{y-x} \) Решение: а) \( (3-\sqrt{10})\sqrt{2} \) Сначала определим знак множителя \( (3-\sqrt{10}) \). \( 3 = \sqrt{9} \). Поскольку \( \sqrt{9} < \sqrt{10} \), то \( 3-\sqrt{10} \) - отрицательное число. Чтобы внести отрицательный множитель под корень, мы оставляем минус перед корнем, а сам множитель возводим в квадрат. \( (3-\sqrt{10})\sqrt{2} = -(\sqrt{10}-3)\sqrt{2} = -\sqrt{(\sqrt{10}-3)^2 \cdot 2} \) \( (\sqrt{10}-3)^2 = (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 3 + 3^2 = 10 - 6\sqrt{10} + 9 = 19 - 6\sqrt{10} \) Тогда: \( -\sqrt{(19 - 6\sqrt{10}) \cdot 2} = -\sqrt{38 - 12\sqrt{10}} \) Ответ: \( -\sqrt{38 - 12\sqrt{10}} \) б) \( (x-y)\sqrt{y-x} \) Для того чтобы корень \( \sqrt{y-x} \) был определен, должно быть \( y-x \ge 0 \), то есть \( y \ge x \). Рассмотрим два случая: Случай 1: \( y-x = 0 \), то есть \( y=x \). Тогда \( (x-y)\sqrt{y-x} = (x-x)\sqrt{x-x} = 0 \cdot \sqrt{0} = 0 \). В этом случае \( 0 = \sqrt{0} \). Случай 2: \( y-x > 0 \), то есть \( y > x \). Тогда \( x-y \) будет отрицательным числом. \( x-y = -(y-x) \). Как и в предыдущем пункте, если множитель отрицательный, мы оставляем минус перед корнем, а сам множитель возводим в квадрат. \( (x-y)\sqrt{y-x} = -(y-x)\sqrt{y-x} = -\sqrt{(y-x)^2 \cdot (y-x)} = -\sqrt{(y-x)^3} \) Ответ: \( -\sqrt{(y-x)^3} \) (при \( y > x \)) или \( 0 \) (при \( y=x \)). Можно записать как \( -\sqrt{(y-x)^3} \) при \( y \ge x \), так как \( \sqrt{0^3} = 0 \). 4. Сравните \( 5\sqrt{3} \) и \( 4\sqrt{5} \). Решение: Чтобы сравнить два выражения с корнями, внесем множители под знак корня: \( 5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75} \) \( 4\sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80} \) Теперь сравним числа под корнями: \( 75 < 80 \) Следовательно, \( \sqrt{75} < \sqrt{80} \). Значит, \( 5\sqrt{3} < 4\sqrt{5} \). Ответ: \( 5\sqrt{3} < 4\sqrt{5} \)