Решение задачи о площади параллелограмма

Задача №4 Дано: ABCD — параллелограмм \( CD = 4 \) см, \( \angle D = 60^\circ \) \( AH = 7 \) см (высота к стороне BC) Найти: \( S \) Решение: 1) В параллелограмме противоположные стороны равны, значит \( AB = CD = 4 \) см. 2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (так как \( AH \perp BC \), а \( BC \parallel AD \), то \( AH \) также перпендикулярна \( AB \) в данном контексте чертежа как высота). Однако, проще использовать стандартную формулу: площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к ней. 3) На чертеже \( AH = 7 \) см — это высота, проведенная к стороне \( BC \). По свойству параллелограмма \( BC = AD \). 4) Чтобы найти площадь, нужно знать длину стороны, к которой проведена высота. В треугольнике \( \triangle ADM \) (где \( AM \perp CD \)): угол \( \angle D = 60^\circ \), значит \( \angle DAM = 30^\circ \). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла \( 30^\circ \), равен половине гипотенузы. Но нам дано \( CD = 4 \). 5) Самый простой путь по чертежу: используем сторону \( CD = 4 \) см и высоту к ней \( AM \). В треугольнике \( \triangle ADM \) угол \( \angle D = 60^\circ \). Без синусов используем свойство: высота \( AM = AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \). 6) Если следовать строго "без теорем и синусов" и использовать только данные \( AH=7 \) и \( CD=4 \), то для нахождения \( S \) через \( AH \) нам нужно \( BC \). Из треугольника \( \triangle ABH \), где \( \angle B = \angle D = 60^\circ \), высота \( AH = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \). Заметим, что на чертеже избыточные данные, которые могут противоречить друг другу. Если \( AB = 4 \) и \( \angle B = 60^\circ \), то высота \( AH \) должна быть \( 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 3,46 \), а не \( 7 \). Если верить числу \( AH = 7 \) и углу \( 60^\circ \): \( AB = \frac{AH}{\sin 60^\circ} \). Без синусов задача с такими числами корректно не решается. Предположим, что \( S \) ищется через сторону \( AD \) и высоту \( AH \). Если \( AD = CD = 4 \) (ромб), то: \[ S = AD \cdot AH = 4 \cdot 7 = 28 \text{ см}^2 \] Ответ: \( S = 28 \text{ см}^2 \) (при условии \( AD = 4 \)).