Вариант 4
1. Решите уравнение \(6x^2 + 18x = 0\).
Решение:
Вынесем общий множитель \(6x\) за скобки:
\(6x(x + 3) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Значит, \(6x = 0\) или \(x + 3 = 0\).
Из \(6x = 0\) получаем \(x_1 = 0\).
Из \(x + 3 = 0\) получаем \(x_2 = -3\).
Ответ: \(x_1 = 0\), \(x_2 = -3\).
2. Решите уравнение \(4x^2 - 9 = 0\).
Решение:
Перенесем число 9 в правую часть уравнения:
\(4x^2 = 9\)
Разделим обе части уравнения на 4:
\(x^2 = \frac{9}{4}\)
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
\(x = \pm\sqrt{\frac{9}{4}}\)
\(x = \pm\frac{3}{2}\)
Ответ: \(x_1 = \frac{3}{2}\), \(x_2 = -\frac{3}{2}\).
3. Решите уравнение \(x^2 - 10x + 9 = 0\).
Решение:
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(D = b^2 - 4ac\).
В нашем случае \(a = 1\), \(b = -10\), \(c = 9\).
Найдем дискриминант:
\(D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64\)
Теперь найдем корни:
\(x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9\)
\(x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
Ответ: \(x_1 = 9\), \(x_2 = 1\).
4. Решите уравнение \(3x^2 + 6x + 5 = 0\).
Решение:
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(D = b^2 - 4ac\).
В нашем случае \(a = 3\), \(b = 6\), \(c = 5\).
Найдем дискриминант:
\(D = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 36 - 60 = -24\)
Так как дискриминант \(D < 0\), уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: Уравнение не имеет действительных корней.
5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 7 больше другого равно 144. Найдите эти числа.
Решение:
Пусть первое натуральное число будет \(x\).
Тогда второе число, которое на 7 больше первого, будет \(x + 7\).
По условию задачи, произведение этих чисел равно 144:
\(x(x + 7) = 144\)
Раскроем скобки:
\(x^2 + 7x = 144\)
Перенесем 144 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
\(x^2 + 7x - 144 = 0\)
Найдем дискриминант:
\(D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 49 + 576 = 625\)
Найдем корни уравнения:
\(x_1 = \frac{-7 + \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 25}{2} = \frac{18}{2} = 9\)
\(x_2 = \frac{-7 - \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 25}{2} = \frac{-32}{2} = -16\)
Поскольку числа натуральные, \(x\) не может быть отрицательным. Значит, \(x = 9\).
Первое число: \(x = 9\).
Второе число: \(x + 7 = 9 + 7 = 16\).
Проверим: \(9 \cdot 16 = 144\). Верно.
Ответ: Эти числа 9 и 16.
6. Найдите сумму и произведение корней уравнения \(x^2 + 7x - 4 = 0\).
Решение:
Для квадратного уравнения общего вида \(ax^2 + bx + c = 0\) по теореме Виета:
Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)
Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)
В нашем уравнении \(x^2 + 7x - 4 = 0\), имеем \(a = 1\), \(b = 7\), \(c = -4\).
Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -\frac{7}{1} = -7\)
Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{-4}{1} = -4\)
Ответ: Сумма корней равна -7, произведение корней равно -4.
7. Упростите выражение:
\[\frac{1 - 5x^2}{7} - \frac{x - x^2}{2} = -\frac{2}{7}\]
Решение:
Для начала приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7 и 2 равен 14.
Умножим первую дробь на \(\frac{2}{2}\), вторую дробь на \(\frac{7}{7}\):
\[\frac{2(1 - 5x^2)}{14} - \frac{7(x - x^2)}{14} = -\frac{2}{7}\]
\[\frac{2 - 10x^2 - (7x - 7x^2)}{14} = -\frac{2}{7}\]
Раскроем скобки в числителе:
\[\frac{2 - 10x^2 - 7x + 7x^2}{14} = -\frac{2}{7}\]
Приведем подобные слагаемые в числителе:
\[\frac{-3x^2 - 7x + 2}{14} = -\frac{2}{7}\]
Теперь умножим обе части уравнения на 14, чтобы избавиться от знаменателей:
\[14 \cdot \frac{-3x^2 - 7x + 2}{14} = 14 \cdot \left(-\frac{2}{7}\right)\]
\[-3x^2 - 7x + 2 = -4\]
Перенесем -4 в левую часть уравнения:
\[-3x^2 - 7x + 2 + 4 = 0\]
\[-3x^2 - 7x + 6 = 0\]
Умножим уравнение на -1, чтобы старший коэффициент был положительным:
\[3x^2 + 7x - 6 = 0\]
Найдем дискриминант:
\(D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121\)
Найдем корни уравнения:
\(x_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)
\(x_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3\)
Ответ: \(x_1 = \frac{2}{3}\), \(x_2 = -3\).