Решение системы уравнений методом Гаусса

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Дана система уравнений: \[ \begin{cases} 2x_1 + x_2 - x_3 = 4 \\ -x_1 + x_2 + 3x_3 = 2 \\ x_1 + 2x_2 = 4 \end{cases} \] Запишем расширенную матрицу системы: \[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 4 \\ -1 & 1 & 3 & | & 2 \\ 1 & 2 & 0 & | & 4 \end{pmatrix} \] Для удобства вычислений поменяем первую и третью строки местами: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 4 \\ -1 & 1 & 3 & | & 2 \\ 2 & 1 & -1 & | & 4 \end{pmatrix} \] Шаг 1. Обнулим элементы под первой единицей в первом столбце. Прибавим первую строку ко второй. Из третьей строки вычтем первую строку, умноженную на 2. \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 4 \\ 0 & 3 & 3 & | & 6 \\ 0 & -3 & -1 & | & -4 \end{pmatrix} \] Разделим вторую строку на 3 для упрощения: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 4 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & -3 & -1 & | & -4 \end{pmatrix} \] Шаг 2. Обнулим элемент под единицей во втором столбце. Прибавим ко второй строке, умноженной на 3, третью строку (или просто прибавим к третьей строке вторую, умноженную на 3): \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 4 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 2 & | & 2 \end{pmatrix} \] Разделим третью строку на 2: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 4 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{pmatrix} \] Шаг 3. Обратный ход. Из третьей строки получаем: \[ x_3 = 1 \] Из второй строки: \[ x_2 + x_3 = 2 \] \[ x_2 + 1 = 2 \] \[ x_2 = 1 \] Из первой строки: \[ x_1 + 2x_2 = 4 \] \[ x_1 + 2 \cdot 1 = 4 \] \[ x_1 + 2 = 4 \] \[ x_1 = 2 \] Проверка: 1) \( 2(2) + 1 - 1 = 4 \) (Верно) 2) \( -2 + 1 + 3(1) = 2 \) (Верно) 3) \( 2 + 2(1) = 4 \) (Верно) Ответ: \( x_1 = 2, x_2 = 1, x_3 = 1 \).