Задача: Один конец пружинки жесткостью 100 Н/м привязан к потолку лифта, а к другому концу привязана гирька массой 100 г. Определить величину ускорения лифта, если пружинка удлинилась при движении лифта на 0,2 см.
Дано:
- Жесткость пружины \(k = 100 \, \text{Н/м}\)
- Масса гирьки \(m = 100 \, \text{г} = 0,1 \, \text{кг}\)
- Дополнительное удлинение пружины при движении лифта \(\Delta x = 0,2 \, \text{см} = 0,002 \, \text{м}\)
- Ускорение свободного падения \(g \approx 10 \, \text{м/с}^2\) (для удобства расчетов, если не указано иное)
Найти:
- Ускорение лифта \(a\)
- Значения всех сил и ускорения
Решение:
Сначала рассмотрим состояние гирьки до начала движения лифта, когда лифт находится в покое или движется равномерно. В этом случае на гирьку действуют две силы:
- Сила тяжести, направленная вниз: \(F_т = mg\)
- Сила упругости пружины, направленная вверх: \(F_у = kx_0\), где \(x_0\) — начальное удлинение пружины.
Поскольку гирька находится в равновесии, эти силы равны по модулю:
\[F_у = F_т\] \[kx_0 = mg\]Отсюда найдем начальное удлинение пружины:
\[x_0 = \frac{mg}{k}\] \[x_0 = \frac{0,1 \, \text{кг} \cdot 10 \, \text{м/с}^2}{100 \, \text{Н/м}} = \frac{1 \, \text{Н}}{100 \, \text{Н/м}} = 0,01 \, \text{м} = 1 \, \text{см}\]Теперь рассмотрим случай, когда лифт движется с ускорением. Пружина удлинилась на \(\Delta x = 0,002 \, \text{м}\) дополнительно. Значит, общее удлинение пружины стало:
\[x = x_0 + \Delta x\] \[x = 0,01 \, \text{м} + 0,002 \, \text{м} = 0,012 \, \text{м}\]В этом случае на гирьку также действуют две силы:
- Сила тяжести, направленная вниз: \(F_т = mg\)
- Сила упругости пружины, направленная вверх: \(F_у' = kx\)
При движении лифта с ускорением \(a\), согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил равна \(ma\). Направление ускорения лифта пока неизвестно, но мы можем определить его, исходя из того, что пружина удлинилась. Удлинение пружины означает, что сила упругости увеличилась, а это возможно, если лифт движется вверх с ускорением или вниз с замедлением.
Предположим, что лифт движется вверх с ускорением \(a\). Тогда уравнение второго закона Ньютона для гирьки будет:
\[F_у' - F_т = ma\] \[kx - mg = ma\]Отсюда выразим ускорение \(a\):
\[a = \frac{kx - mg}{m}\]Подставим значения:
\[a = \frac{100 \, \text{Н/м} \cdot 0,012 \, \text{м} - 0,1 \, \text{кг} \cdot 10 \, \text{м/с}^2}{0,1 \, \text{кг}}\] \[a = \frac{1,2 \, \text{Н} - 1 \, \text{Н}}{0,1 \, \text{кг}}\] \[a = \frac{0,2 \, \text{Н}}{0,1 \, \text{кг}}\] \[a = 2 \, \text{м/с}^2\]Поскольку ускорение получилось положительным, наше предположение о движении лифта вверх с ускорением (или вниз с замедлением) верно. Если бы ускорение получилось отрицательным, это означало бы, что лифт движется вниз с ускорением (или вверх с замедлением).
Значения всех сил и ускорения:
- До движения лифта с ускорением:
- Сила тяжести: \(F_т = mg = 0,1 \, \text{кг} \cdot 10 \, \text{м/с}^2 = 1 \, \text{Н}\)
- Сила упругости: \(F_у = kx_0 = 100 \, \text{Н/м} \cdot 0,01 \, \text{м} = 1 \, \text{Н}\)
- Ускорение: \(a = 0 \, \text{м/с}^2\) (так как лифт в покое или движется равномерно)
- При движении лифта с ускорением:
- Сила тяжести: \(F_т = mg = 0,1 \, \text{кг} \cdot 10 \, \text{м/с}^2 = 1 \, \text{Н}\)
- Сила упругости: \(F_у' = kx = 100 \, \text{Н/м} \cdot 0,012 \, \text{м} = 1,2 \, \text{Н}\)
- Ускорение лифта: \(a = 2 \, \text{м/с}^2\), направлено вверх.
Ответ:
Величина ускорения лифта составляет \(2 \, \text{м/с}^2\). Ускорение направлено вверх.
Значения сил:
- Сила тяжести, действующая на гирьку, равна \(1 \, \text{Н}\).
- Сила упругости пружины до движения лифта с ускорением равна \(1 \, \text{Н}\).
- Сила упругости пружины при движении лифта с ускорением равна \(1,2 \, \text{Н}\).