Задача: Один конец пружинки жесткостью 100 Н/м привязан к потолку лифта, а к другому концу привязана гирька массой 100 г. Определить величину ускорения лифта, если пружинка удлинилась при движении лифта на 0,2 см.
Решение:
Сначала запишем, что нам дано, и переведем все величины в систему СИ.
Дано:
- Жесткость пружины \(k = 100 \, \text{Н/м}\)
- Масса гирьки \(m = 100 \, \text{г} = 0,1 \, \text{кг}\)
- Дополнительное удлинение пружины при движении лифта \(\Delta x = 0,2 \, \text{см} = 0,002 \, \text{м}\)
- Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2\) (обычно в школьных задачах принимают \(10 \, \text{м/с}^2\), но для точности возьмем \(9,8 \, \text{м/с}^2\))
Найти: Ускорение лифта \(a\).
1. Определим начальное растяжение пружины, когда лифт неподвижен.
Когда лифт неподвижен, гирька находится в равновесии. На нее действуют две силы: сила тяжести, направленная вниз, и сила упругости пружины, направленная вверх.
По второму закону Ньютона:
\[F_{\text{упр0}} - mg = 0\] \[F_{\text{упр0}} = mg\]Сила упругости по закону Гука равна \(F_{\text{упр0}} = kx_0\), где \(x_0\) - начальное растяжение пружины.
\[kx_0 = mg\]Отсюда найдем начальное растяжение:
\[x_0 = \frac{mg}{k}\]Подставим значения:
\[x_0 = \frac{0,1 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2}{100 \, \text{Н/м}} = \frac{0,98 \, \text{Н}}{100 \, \text{Н/м}} = 0,0098 \, \text{м}\]Это растяжение пружины до того, как лифт начал двигаться с ускорением.
2. Определим общее растяжение пружины при движении лифта.
По условию задачи, пружинка удлинилась при движении лифта на \(\Delta x = 0,002 \, \text{м}\). Это означает, что общее растяжение пружины стало:
\[x = x_0 + \Delta x\] \[x = 0,0098 \, \text{м} + 0,002 \, \text{м} = 0,0118 \, \text{м}\]3. Определим силу упругости, действующую на гирьку при движении лифта.
Сила упругости при движении лифта:
\[F_{\text{упр}} = kx\] \[F_{\text{упр}} = 100 \, \text{Н/м} \cdot 0,0118 \, \text{м} = 1,18 \, \text{Н}\]4. Определим ускорение лифта.
Рассмотрим силы, действующие на гирьку, когда лифт движется с ускорением. На гирьку действуют сила тяжести \(mg\), направленная вниз, и сила упругости \(F_{\text{упр}}\), направленная вверх.
По второму закону Ньютона:
\[F_{\text{упр}} - mg = ma\]Здесь \(a\) - ускорение лифта. Если \(F_{\text{упр}} > mg\), то ускорение направлено вверх. Если \(F_{\text{упр}} < mg\), то ускорение направлено вниз.
Подставим значения:
\[1,18 \, \text{Н} - (0,1 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2) = 0,1 \, \text{кг} \cdot a\] \[1,18 \, \text{Н} - 0,98 \, \text{Н} = 0,1 \, \text{кг} \cdot a\] \[0,2 \, \text{Н} = 0,1 \, \text{кг} \cdot a\]Отсюда найдем ускорение \(a\):
\[a = \frac{0,2 \, \text{Н}}{0,1 \, \text{кг}} = 2 \, \text{м/с}^2\]Поскольку \(F_{\text{упр}} > mg\), ускорение лифта направлено вверх.
5. Найдем все значения сил ускорения.
В данном контексте "силы ускорения" обычно подразумевают равнодействующую силу, которая вызывает ускорение. Это та сила, которая остается после вычитания силы тяжести из силы упругости.
Равнодействующая сила (сила, вызывающая ускорение):
\[F_{\text{равн}} = F_{\text{упр}} - mg\] \[F_{\text{равн}} = 1,18 \, \text{Н} - 0,98 \, \text{Н} = 0,2 \, \text{Н}\]Эта равнодействующая сила и является причиной ускорения гирьки (и, соответственно, лифта).
Ответ:
Величина ускорения лифта составляет \(2 \, \text{м/с}^2\). Ускорение направлено вверх.
Начальное растяжение пружины (до движения лифта с ускорением) составляет \(0,0098 \, \text{м}\).
Сила упругости, действующая на гирьку при движении лифта, составляет \(1,18 \, \text{Н}\).
Сила тяжести, действующая на гирьку, составляет \(0,98 \, \text{Н}\).
Равнодействующая сила (сила, вызывающая ускорение) составляет \(0,2 \, \text{Н}\).