Решение задачи:
Для того чтобы определить, какому логическому выражению соответствует данная таблица истинности, мы будем поочередно проверять каждое из предложенных выражений.
Таблица истинности:
| A |
B |
C |
F |
| 0 |
0 |
0 |
1 |
| 0 |
0 |
1 |
0 |
| 0 |
1 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
1 |
0 |
| 1 |
0 |
0 |
1 |
| 1 |
0 |
1 |
0 |
| 1 |
1 |
0 |
0 |
| 1 |
1 |
1 |
0 |
Давайте рассмотрим каждое из предложенных выражений:
1. Выражение: \(B \to A \land C\)
Напомним, что импликация \(X \to Y\) ложна только тогда, когда \(X\) истинно, а \(Y\) ложно.
* Строка 1: A=0, B=0, C=0. \(B \to (A \land C)\) = \(0 \to (0 \land 0)\) = \(0 \to 0\) = 1. Совпадает с F.
* Строка 2: A=0, B=0, C=1. \(B \to (A \land C)\) = \(0 \to (0 \land 1)\) = \(0 \to 0\) = 1. Не совпадает с F (F=0).
Это выражение не подходит.
2. Выражение: \(A \land \neg B \land \neg C\)
Напомним, что конъюнкция (\(\land\)) истинна только тогда, когда все ее операнды истинны. Отрицание (\(\neg\)) меняет значение на противоположное.
* Строка 1: A=0, B=0, C=0. \(A \land \neg B \land \neg C\) = \(0 \land \neg 0 \land \neg 0\) = \(0 \land 1 \land 1\) = 0. Не совпадает с F (F=1).
Это выражение не подходит.
3. Выражение: \(A \to \neg B \lor \neg C\)
Напомним, что импликация \(X \to Y\) ложна только тогда, когда \(X\) истинно, а \(Y\) ложно. Дизъюнкция (\(\lor\)) ложна только тогда, когда оба ее операнда ложны.
* Строка 1: A=0, B=0, C=0. \(A \to (\neg B \lor \neg C)\) = \(0 \to (\neg 0 \lor \neg 0)\) = \(0 \to (1 \lor 1)\) = \(0 \to 1\) = 1. Совпадает с F.
* Строка 2: A=0, B=0, C=1. \(A \to (\neg B \lor \neg C)\) = \(0 \to (\neg 0 \lor \neg 1)\) = \(0 \to (1 \lor 0)\) = \(0 \to 1\) = 1. Не совпадает с F (F=0).
Это выражение не подходит.
4. Выражение: \(\neg A \land \neg B \land \neg C\)
Давайте перепроверим это выражение, так как оно не было в списке, но похоже на то, что может быть правильным, если предыдущие не подошли.
* Строка 1: A=0, B=0, C=0. \(\neg A \land \neg B \land \neg C\) = \(\neg 0 \land \neg 0 \land \neg 0\) = \(1 \land 1 \land 1\) = 1. Совпадает с F.
* Строка 2: A=0, B=0, C=1. \(\neg A \land \neg B \land \neg C\) = \(\neg 0 \land \neg 0 \land \neg 1\) = \(1 \land 1 \land 0\) = 0. Совпадает с F.
* Строка 3: A=0, B=1, C=0. \(\neg A \land \neg B \land \neg C\) = \(\neg 0 \land \neg 1 \land \neg 0\) = \(1 \land 0 \land 1\) = 0. Совпадает с F.
* Строка 4: A=0, B=1, C=1. \(\neg A \land \neg B \land \neg C\) = \(\neg 0 \land \neg 1 \land \neg 1\) = \(1 \land 0 \land 0\) = 0. Совпадает с F.
* Строка 5: A=1, B=0, C=0. \(\neg A \land \neg B \land \neg C\) = \(\neg 1 \land \neg 0 \land \neg 0\) = \(0 \land 1 \land 1\) = 0. Не совпадает с F (F=1).
Это выражение не подходит.
Давайте внимательно посмотрим на таблицу истинности и попробуем найти закономерность.
Значение F равно 1 только в двух случаях:
1. A=0, B=0, C=0
2. A=1, B=0, C=0
Это означает, что B и C должны быть равны 0. Значение A может быть как 0, так и 1.
То есть, F истинно, когда \(\neg B\) и \(\neg C\) истинны.
Если бы F было истинно только когда A=0, B=0, C=0, то это было бы \(\neg A \land \neg B \land \neg C\).
Если бы F было истинно только когда A=1, B=0, C=0, то это было бы \(A \land \neg B \land \neg C\).
Поскольку F истинно в обоих этих случаях, то логическое выражение должно быть дизъюнкцией этих двух случаев:
\((\neg A \land \neg B \land \neg C) \lor (A \land \neg B \land \neg C)\)
Мы можем вынести \(\neg B \land \neg C\) за скобки:
\((\neg A \lor A) \land (\neg B \land \neg C)\)
Так как \(\neg A \lor A\) всегда истинно (равно 1), то выражение упрощается до:
\(1 \land (\neg B \land \neg C)\)
Что равно:
\(\neg B \land \neg C\)
Теперь проверим это выражение по таблице:
* Строка 1: A=0, B=0, C=0. \(\neg B \land \neg C\) = \(\neg 0 \land \neg 0\) = \(1 \land 1\) = 1. Совпадает с F.
* Строка 2: A=0, B=0, C=1. \(\neg B \land \neg C\) = \(\neg 0 \land \neg 1\) = \(1 \land 0\) = 0. Совпадает с F.
* Строка 3: A=0, B=1, C=0. \(\neg B \land \neg C\) = \(\neg 1 \land \neg 0\) = \(0 \land 1\) = 0. Совпадает с F.
* Строка 4: A=0, B=1, C=1. \(\neg B \land \neg C\) = \(\neg 1 \land \neg 1\) = \(0 \land 0\) = 0. Совпадает с F.
* Строка 5: A=1, B=0, C=0. \(\neg B \land \neg C\) = \(\neg 0 \land \neg 0\) = \(1 \land 1\) = 1. Совпадает с F.
* Строка 6: A=1, B=0, C=1. \(\neg B \land \neg C\) = \(\neg 0 \land \neg 1\) = \(1 \land 0\) = 0. Совпадает с F.
* Строка 7: A=1, B=1, C=0. \(\neg B \land \neg C\) = \(\neg 1 \land \neg 0\) = \(0 \land 1\) = 0. Совпадает с F.
* Строка 8: A=1, B=1, C=1. \(\neg B \land \neg C\) = \(\neg 1 \land \neg 1\) = \(0 \land 0\) = 0. Совпадает с F.
Выражение \(\neg B \land \neg C\) полностью соответствует данной таблице истинности.
Теперь посмотрим на предложенные варианты ответов еще раз, возможно, я пропустил что-то или неправильно интерпретировал один из вариантов.
Варианты:
1. \(B \to A \land C\)
2. \(A \land \neg B \land \neg C\)
3. \(A \to \neg B \lor \neg C\)
4. \(A \lor B \lor C\)
Давайте еще раз проверим вариант 2: \(A \land \neg B \land \neg C\)
* Строка 1: A=0, B=0, C=0. \(0 \land \neg 0 \land \neg 0\) = \(0 \land 1 \land 1\) = 0. F=1. Не совпадает.
Может быть, я неправильно прочитал один из вариантов. Давайте предположим, что один из вариантов был \(\neg B \land \neg C\). Если такого варианта нет, то задача может быть с ошибкой в вариантах или я что-то упустил.
Давайте еще раз внимательно посмотрим на варианты и таблицу.
Если F=1, то B=0 и C=0. A может быть любым.
Это означает, что F истинно тогда и только тогда, когда B ложно И C ложно.
То есть, \(F = \neg B \land \neg C\).
Если ни один из предложенных вариантов не совпадает с \(\neg B \land \neg C\), то либо в задаче ошибка, либо я неправильно понял один из вариантов.
Давайте еще раз проверим все варианты, но уже с учетом того, что \(\neg B \land \neg C\) - это правильный ответ.
1. \(B \to A \land C\)
* Строка 1: \(0 \to (0 \land 0)\) = \(0 \to 0\) = 1. (F=1)
* Строка 2: \(0 \to (0 \land 1)\) = \(0 \to 0\) = 1. (F=0) - Не подходит.
2. \(A \land \neg B \land \neg C\)
* Строка 1: \(0 \land \neg 0 \land \neg 0\) = \(0 \land 1 \land 1\) = 0. (F=1) - Не подходит.
3. \(A \to \neg B \lor \neg C\)
* Строка 1: \(0 \to (\neg 0 \lor \neg 0)\) = \(0 \to (1 \lor 1)\) = \(0 \to 1\) = 1. (F=1)
* Строка 2: \(0 \to (\neg 0 \lor \neg 1)\) = \(0 \to (1 \lor 0)\) = \(0 \to 1\) = 1. (F=0) - Не подходит.
4. \(A \lor B \lor C\)
* Строка 1: \(0 \lor 0 \lor 0\) = 0. (F=1) - Не подходит.
Похоже, что ни один из предложенных вариантов не соответствует таблице истинности.
Однако, если мы внимательно посмотрим на второй вариант: \(A \land \neg B \land \neg C\), он очень похож на часть нашего выведенного выражения.
Возможно, в вариантах ответа есть опечатка, или я неверно распознал символы.
Если бы вариант был \(\neg B \land \neg C\), то он был бы правильным.
Давайте предположим, что в вариантах ответа есть ошибка, и правильный ответ \(\neg B \land \neg C\).
Если же нужно выбрать из предложенных, то ни один из них не подходит.
Перепроверим еще раз, возможно, я ошибся в вычислениях.
Таблица истинности:
| A |
B |
C |
F |
\(\neg B \land \neg C\) |
| 0 |
0 |
0 |
1 |
\(1 \land 1 = 1\) |
| 0 |
0 |
1 |
0 |
\(1 \land 0 = 0\) |
| 0 |
1 |
0 |
0 |
\(0 \land 1 = 0\) |
| 0 |
1 |
1 |
0 |
\(0 \land 0 = 0\) |
| 1 |
0 |
0 |
1 |
\(1 \land 1 = 1\) |
| 1 |
0 |
1 |
0 |
\(1 \land 0 = 0\) |
| 1 |
1 |
0 |
0 |
\(0 \land 1 = 0\) |
| 1 |
1 |
1 |
0 |
\(0 \land 0 = 0\) |
Как видно из таблицы, выражение \(\neg B \land \neg C\) полностью соответствует столбцу F.
Если мы обязаны выбрать из предложенных вариантов, то это означает, что либо в задаче ошибка, либо я неверно распознал символы в одном из вариантов.
Предположим, что второй вариант на самом деле был \(\neg B \land \neg C\), а не \(A \land \neg B \land \neg C\).
Если это так, то ответ был бы 2.
Если же варианты точно такие, как написаны, то ни один из них не подходит.
В школьных задачах обычно предполагается, что один из вариантов является правильным.
Давайте еще раз внимательно посмотрим на изображение.
Варианты:
1. \(B \to A \land C\)
2. \(A \land \neg B \land \neg C\)
3. \(A \to \neg B \lor \neg C\)
4. \(A \lor B \lor C\)
Я уверен в своих вычислениях для \(\neg B \land \neg C\).
Если бы это была задача с открытым ответом, я бы написал \(\neg B \land \neg C\).
Поскольку это выбор из нескольких вариантов, и ни один из них не подходит, это указывает на возможную ошибку в задании или вариантах ответа.
Однако, если бы мне пришлось выбрать "наиболее близкий" или предположить опечатку, то вариант 2: \(A \land \neg B \land \neg C\) отличается от \(\neg B \land \neg C\) только наличием \(A\).
Если \(A\) было бы всегда 1, то \(A \land \neg B \land \neg C\) было бы \(\neg B \land \neg C\). Но \(A\) не всегда 1.
Если \(A\) было бы всегда 0, то \(A \land \neg B \land \neg C\) было бы 0.
Давайте еще раз проверим вариант 2: \(A \land \neg B \land \neg C\)
* Строка 1: A=0, B=0, C=0. \(0 \land 1 \land 1\) = 0. F=1. Не подходит.
Таким образом, ни один из предложенных вариантов не соответствует таблице истинности.
Если бы это был тест, и я был бы вынужден выбрать, я бы указал на ошибку в задании.
Но если нужно дать ответ, то я не могу выбрать ни один из них.
Предположим, что в варианте 2 опечатка, и он должен был быть \(\neg B \land \neg C\). Тогда это был бы правильный ответ.
Без возможности уточнить задание, я не могу дать однозначный ответ из предложенных вариантов.
Если задача требует выбрать один из вариантов, то, возможно, есть какая-то неочевидная логика или ошибка в моем понимании. Но по стандартным правилам логики, \(\neg B \land \neg C\) является единственным выражением, соответствующим таблице.
Если бы я был школьником и мне нужно было бы выбрать ответ, я бы перепроверил все еще раз.
Может быть, я неправильно прочитал символ \(\neg\) (отрицание) или \(\land\) (И) или \(\lor\) (ИЛИ) или \(\to\) (импликация).
Символы выглядят стандартно.
Вывод: Ни одно из предложенных логических выражений не соответствует данной таблице истинности. Наиболее близкое по структуре и логике выражение, которое соответствует таблице, это \(\neg B \land \neg C\). Если бы это выражение было среди вариантов, оно было бы правильным.
