Решите уравнение:
1) \( \log_3(2x - 11) = 2 \)
ОДЗ:
Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля:
\( 2x - 11 > 0 \)
\( 2x > 11 \)
\( x > \frac{11}{2} \)
\( x > 5.5 \)
Решение:
По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( b = a^c \).
\( 2x - 11 = 3^2 \)
\( 2x - 11 = 9 \)
\( 2x = 9 + 11 \)
\( 2x = 20 \)
\( x = \frac{20}{2} \)
\( x = 10 \)
Проверка ОДЗ:
\( 10 > 5.5 \). Условие ОДЗ выполняется.
Ответ: \( x = 10 \)
2) \( \log_5(3x - 7) = 2 + \log_5 2 \)
ОДЗ:
Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля:
\( 3x - 7 > 0 \)
\( 3x > 7 \)
\( x > \frac{7}{3} \)
\( x > 2\frac{1}{3} \)
Решение:
Перенесем все логарифмы в одну сторону:
\( \log_5(3x - 7) - \log_5 2 = 2 \)
Используем свойство логарифма \( \log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right) \):
\( \log_5 \left(\frac{3x - 7}{2}\right) = 2 \)
По определению логарифма:
\( \frac{3x - 7}{2} = 5^2 \)
\( \frac{3x - 7}{2} = 25 \)
\( 3x - 7 = 25 \cdot 2 \)
\( 3x - 7 = 50 \)
\( 3x = 50 + 7 \)
\( 3x = 57 \)
\( x = \frac{57}{3} \)
\( x = 19 \)
Проверка ОДЗ:
\( 19 > 2\frac{1}{3} \). Условие ОДЗ выполняется.
Ответ: \( x = 19 \)
3) \( 2\log_9^2 x + 3\log_9 x - 2 = 0 \)
ОДЗ:
Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля:
\( x > 0 \)
Решение:
Это квадратное уравнение относительно \( \log_9 x \). Сделаем замену переменной:
Пусть \( t = \log_9 x \).
Тогда уравнение примет вид:
\( 2t^2 + 3t - 2 = 0 \)
Найдем дискриминант:
\( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \)
Найдем корни \( t \):
\( t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
\( t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \)
Теперь вернемся к замене \( t = \log_9 x \):
Случай 1: \( \log_9 x = \frac{1}{2} \)
По определению логарифма:
\( x = 9^{\frac{1}{2}} \)
\( x = \sqrt{9} \)
\( x = 3 \)
Случай 2: \( \log_9 x = -2 \)
По определению логарифма:
\( x = 9^{-2} \)
\( x = \frac{1}{9^2} \)
\( x = \frac{1}{81} \)
Проверка ОДЗ:
Для \( x = 3 \): \( 3 > 0 \). Условие ОДЗ выполняется.
Для \( x = \frac{1}{81} \): \( \frac{1}{81} > 0 \). Условие ОДЗ выполняется.
Ответ: \( x_1 = 3 \), \( x_2 = \frac{1}{81} \)
4) \( \log_2(x + 2) + \log_2 x = 3 \)
ОДЗ:
Оба выражения под логарифмами должны быть строго больше нуля:
1) \( x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2 \)
2) \( x > 0 \)
Пересечение этих условий: \( x > 0 \).
Решение:
Используем свойство логарифма \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \):
\( \log_2 ((x + 2) \cdot x) = 3 \)
\( \log_2 (x^2 + 2x) = 3 \)
По определению логарифма:
\( x^2 + 2x = 2^3 \)
\( x^2 + 2x = 8 \)
Перенесем 8 в левую часть и приравняем к нулю:
\( x^2 + 2x - 8 = 0 \)
Найдем дискриминант:
\( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \)
Найдем корни \( x \):
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
\( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
\( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)
Проверка ОДЗ:
Для \( x = 2 \): \( 2 > 0 \). Условие ОДЗ выполняется.
Для \( x = -4 \): \( -4 > 0 \) - это неверно. Условие ОДЗ не выполняется, поэтому \( x = -4 \) не является решением.
Ответ: \( x = 2 \)
5) \( 2\log_5 x + \log_{25} x - \log_{125} x = -4\frac{1}{3} \)
ОДЗ:
Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля:
\( x > 0 \)
Решение:
Приведем все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 5. Используем формулу перехода к новому основанию \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \).
\( \log_{25} x = \log_{5^2} x = \frac{1}{2} \log_5 x \)
\( \log_{125} x = \log_{5^3} x = \frac{1}{3} \log_5 x \)
Подставим это в уравнение:
\( 2\log_5 x + \frac{1}{2} \log_5 x - \frac{1}{3} \log_5 x = -4\frac{1}{3} \)
Вынесем \( \log_5 x \) за скобки:
\( \log_5 x \left(2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = -\frac{13}{3} \)
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю (6):
\( 2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{12}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{12 + 3 - 2}{6} = \frac{13}{6} \)
Теперь уравнение выглядит так:
\( \log_5 x \cdot \frac{13}{6} = -\frac{13}{3} \)
Разделим обе части на \( \frac{13}{6} \):
\( \log_5 x = -\frac{13}{3} \div \frac{13}{6} \)
\( \log_5 x = -\frac{13}{3} \cdot \frac{6}{13} \)
\( \log_5 x = -\frac{6}{3} \)
\( \log_5 x = -2 \)
По определению логарифма:
\( x = 5^{-2} \)
\( x = \frac{1}{5^2} \)
\( x = \frac{1}{25} \)
Проверка ОДЗ:
\( \frac{1}{25} > 0 \). Условие ОДЗ выполняется.
Ответ: \( x = \frac{1}{25} \)
Решите неравенство:
1) \( \log_4(2x - 7) > 0 \)
ОДЗ:
Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля:
\( 2x - 7 > 0 \)
\( 2x > 7 \)
\( x > \frac{7}{2} \)
\( x > 3.5 \)
Решение:
Представим 0 как логарифм по основанию 4: \( 0 = \log_4 1 \).
\( \log_4(2x - 7) > \log_4 1 \)
Так как основание логарифма \( 4 > 1 \), функция \( \log_4 t \) возрастающая. Это означает, что при сравнении аргументов логарифма знак неравенства сохраняется.
\( 2x - 7 > 1 \)
\( 2x > 1 + 7 \)
\( 2x > 8 \)
\( x > \frac{8}{2} \)
\( x > 4 \)
Учет ОДЗ:
Мы должны удовлетворять обоим условиям: \( x > 3.5 \) и \( x > 4 \).
Пересечение этих интервалов: \( x > 4 \).
Ответ: \( x \in (4; +\infty) \)
2) \( \log_{\frac{1}{6}}(3x + 12) \ge -1 \)
ОДЗ:
Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля:
\( 3x + 12 > 0 \)
\( 3x > -12 \)
\( x > \frac{-12}{3} \)
\( x > -4 \)
Решение:
Представим -1 как логарифм по основанию \( \frac{1}{6} \): \( -1 = \log_{\frac{1}{6}} \left(\frac{1}{6}\right)^{-1} = \log_{\frac{1}{6}} 6 \).
\( \log_{\frac{1}{6}}(3x + 12) \ge \log_{\frac{1}{6}} 6 \)
Так как основание логарифма \( 0 < \frac{1}{6} < 1 \), функция \( \log_{\frac{1}{6}} t \) убывающая. Это означает, что при сравнении аргументов логарифма знак неравенства меняется на противоположный.
\( 3x + 12 \le 6 \)
\( 3x \le 6 - 12 \)
\( 3x \le -6 \)
\( x \le \frac{-6}{3} \)
\( x \le -2 \)
Учет ОДЗ:
Мы должны удовлетворять обоим условиям: \( x > -4 \) и \( x \le -2 \).
Пересечение этих интервалов: \( -4 < x \le -2 \).
Ответ: \( x \in (-4; -2] \)
3) \( \log_7(6 - 4x) \le 2 \)
ОДЗ:
Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля:
\( 6 - 4x > 0 \)
\( -4x > -6 \)
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:
\( x < \frac{-6}{-4} \)
\( x < \frac{3}{2} \)
\( x < 1.5 \)
Решение:
Представим 2 как логарифм по основанию 7: \( 2 = \log_7 7^2 = \log_7 49 \).
\( \log_7(6 - 4x) \le \log_7 49 \)
Так как основание логарифма \( 7 > 1 \), функция \( \log_7 t \) возрастающая. Это означает, что при сравнении аргументов логарифма знак неравенства сохраняется.
\( 6 - 4x \le 49 \)
\( -4x \le 49 - 6 \)
\( -4x \le 43 \)
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:
\( x \ge \frac{43}{-4} \)
\( x \ge -10.75 \)
Учет ОДЗ:
Мы должны удовлетворять обоим условиям: \( x < 1.5 \) и \( x \ge -10.75 \).
Пересечение этих интервалов: \( -10.75 \le x < 1.5 \).
Ответ: \( x \in \left[-\frac{43}{4}; \frac{3}{2}\right) \)
4) \( \log_{\frac{1}{3}}(x + 5) > -3 \)
ОДЗ:
Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля:
\( x + 5 > 0 \)
\( x > -5 \)
Решение:
Представим -3 как логарифм по основанию \( \frac{1}{3} \): \( -3 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = \log_{\frac{1}{3}} 3^3 = \log_{\frac{1}{3}} 27 \).
\( \log_{\frac{1}{3}}(x + 5) > \log_{\frac{1}{3}} 27 \)
Так как основание логарифма \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \), функция \( \log_{\frac{1}{3}} t \) убывающая. Это означает, что при сравнении аргументов логарифма знак неравенства меняется на противоположный.
\( x + 5 < 27 \)
\( x < 27 - 5 \)
\( x < 22 \)
Учет ОДЗ:
Мы должны удовлетворять обоим условиям: \( x > -5 \) и \( x < 22 \).
Пересечение этих интервалов: \( -5 < x < 22 \).
Ответ: \( x \in (-5; 22) \)
5) \( \log_{\frac{1}{6}}(x^2 - 3x + 2) < -1 \)
ОДЗ:
Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля:
\( x^2 - 3x + 2 > 0 \)
Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 3x + 2 = 0 \).
По теореме Виета или через дискриминант:
\( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \)
\( x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} \)
\( x_1 = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
\( x_2 = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
Так как парабола \( y = x^2 - 3x + 2 \) ветвями направлена вверх, то \( x^2 - 3x + 2 > 0 \) при \( x < 1 \) или \( x > 2 \).
ОДЗ: \( x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty) \)
Решение:
Представим -1 как логарифм по основанию \( \frac{1}{6} \): \( -1 = \log_{\frac{1}{6}} \left(\frac{1}{6}\right)^{-1} = \log_{\frac{1}{6}} 6 \).
\( \log_{\frac{1}{6}}(x^2 - 3x + 2) < \log_{\frac{1}{6}} 6 \)
Так как основание логарифма \( 0 < \frac{1}{6} < 1 \), функция \( \log_{\frac{1}{6}} t \) убывающая. Это означает, что при сравнении аргументов логарифма знак неравенства меняется на противоположный.
\( x^2 - 3x + 2 > 6 \)
\( x^2 - 3x + 2 - 6 > 0 \)
\( x^2 - 3x - 4 > 0 \)
Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 3x - 4 = 0 \).
\( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \)
\( x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} \)
\( x_1 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
\( x_2 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
Так как парабола \( y = x^2 - 3x - 4 \) ветвями направлена вверх, то \( x^2 - 3x - 4 > 0 \) при \( x < -1 \) или \( x > 4 \).
Учет ОДЗ:
Мы должны найти пересечение двух интервалов:
1) \( x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty) \) (из ОДЗ)
2) \( x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty) \) (из решения неравенства)
Нарисуем числовую прямую и отметим эти интервалы:
ОДЗ:
Пересечение этих интервалов: \( x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty) \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty) \)