Решение задачи: Индуктивность L колебательного контура

Контрольная работа по теме «Механические и электромагнитные волны» Вариант 2. Задача 1. Дано: \(C = 20 \text{ пФ} = 20 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}\) \(\lambda = 5 \text{ м}\) \(c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}\) (скорость света) Найти: \(L\) — ? Решение: Длина волны связана с периодом колебаний формулой: \[\lambda = c \cdot T\] Период колебаний в контуре определяется формулой Томсона: \[T = 2\pi\sqrt{LC}\] Подставим формулу периода в формулу длины волны: \[\lambda = c \cdot 2\pi\sqrt{LC}\] Возведем обе части в квадрат: \[\lambda^2 = 4\pi^2 c^2 LC\] Выразим индуктивность \(L\): \[L = \frac{\lambda^2}{4\pi^2 c^2 C}\] Подставим значения: \[L = \frac{5^2}{4 \cdot 3,14^2 \cdot (3 \cdot 10^8)^2 \cdot 20 \cdot 10^{-12}} \approx \frac{25}{4 \cdot 9,87 \cdot 9 \cdot 10^{16} \cdot 20 \cdot 10^{-12}} \approx 0,35 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}\] Ответ: \(L \approx 0,35 \text{ мкГн}\). Задача 2. Дано: \(\nu = 1 \text{ кГц} = 1000 \text{ Гц}\) \(v \approx 340 \text{ м/с}\) (скорость звука в воздухе) Анализ утверждений: А. Неверно. Амплитуда влияет на громкость, а высота звука зависит от частоты. Б. Неверно. Чем больше амплитуда, тем больше громкость. В. Проверим длину волны: \(\lambda = \frac{v}{\nu} = \frac{340}{1000} = 0,34 \text{ м} = 34 \text{ см}\). Это больше 30 см. Утверждение верно. Г. Неверно. Скорость звука растет при увеличении температуры. Ответ: В. Задача 3. Дано: \(x = 1 \text{ см} = 0,01 \text{ м}\) \(g = 9,8 \text{ м/с}^2\) Найти: \(T\) — ? Решение: В положении равновесия сила тяжести уравновешена силой упругости: \[mg = kx \Rightarrow \frac{m}{k} = \frac{x}{g}\] Формула периода пружинного маятника: \[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\] Подставим отношение \(\frac{m}{k}\): \[T = 2\pi\sqrt{\frac{x}{g}}\] Вычисления: \[T = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\frac{0,01}{9,8}} \approx 6,28 \cdot \sqrt{0,00102} \approx 6,28 \cdot 0,032 \approx 0,2 \text{ с}\] Ответ: \(T \approx 0,2 \text{ с}\). Задача 4. Дано: \(i(t) = 0,1 \cos(6 \cdot 10^5 \pi t)\) \(c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}\) Найти: \(\lambda\) — ? Решение: Уравнение тока имеет вид \(i = I_m \cos(\omega t)\). Из уравнения видно, что циклическая частота \(\omega = 6 \cdot 10^5 \pi \text{ рад/с}\). Связь циклической частоты и периода: \(\omega = \frac{2\pi}{T} \Rightarrow T = \frac{2\pi}{\omega}\). Длина волны: \[\lambda = c \cdot T = \frac{c \cdot 2\pi}{\omega}\] Вычисления: \[\lambda = \frac{3 \cdot 10^8 \cdot 2\pi}{6 \cdot 10^5 \pi} = \frac{6 \cdot 10^8}{6 \cdot 10^5} = 1000 \text{ м}\] Ответ: \(\lambda = 1000 \text{ м}\). Задача 5. Дано: \(\nu_1 = 9 \text{ МГц} = 9 \cdot 10^6 \text{ Гц}\) \(\lambda_2 = 50 \text{ м}\) Найти: \(\frac{C_2}{C_1}\) — ? Решение: Длина волны первой настройки: \(\lambda_1 = \frac{c}{\nu_1} = \frac{3 \cdot 10^8}{9 \cdot 10^6} \approx 33,3 \text{ м}\). Используем формулу \(\lambda = 2\pi c \sqrt{LC}\). Так как индуктивность \(L\) не меняется: \[\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{2\pi c \sqrt{LC_2}}{2\pi c \sqrt{LC_1}} = \sqrt{\frac{C_2}{C_1}}\] Возведем в квадрат: \[\frac{C_2}{C_1} = \left( \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \right)^2\] Подставим значения: \[\frac{C_2}{C_1} = \left( \frac{50}{33,3} \right)^2 \approx (1,5)^2 = 2,25\] Ответ: емкость нужно увеличить в 2,25 раза.