Хорошо, давайте разберем эту задачу по геометрии. Нам нужно найти пары треугольников, которые равны по первому признаку равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними.
Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними
Два треугольника равны, если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника.
Рассмотрим каждую из предложенных фигур:
Фигура 1
Здесь изображены два треугольника, которые пересекаются. Давайте обозначим вершины. Пусть верхний треугольник будет \( \triangle ABC \), а нижний \( \triangle DEC \), где \( C \) - точка пересечения.
По условию (отметкам на сторонах):
Сторона \( AC \) равна стороне \( DC \) (одна черточка).
Сторона \( BC \) равна стороне \( EC \) (две черточки).
Углы \( \angle ACB \) и \( \angle DCE \) являются вертикальными, а вертикальные углы всегда равны.
Таким образом, в \( \triangle ABC \) и \( \triangle DEC \) две стороны и угол между ними соответственно равны.
Значит, треугольники в фигуре 1 равны по первому признаку.
Фигура 2
Здесь изображен параллелограмм, разделенный диагональю на два треугольника. Давайте обозначим вершины параллелограмма как \( ABCD \), а диагональ как \( AC \). Тогда у нас есть \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \).
По условию (отметкам на сторонах и углах):
Сторона \( AB \) равна стороне \( CD \) (одна черточка).
Сторона \( BC \) равна стороне \( DA \) (две черточки).
Угол \( \angle BAC \) равен углу \( \angle DCA \) (отмечены одной дугой). Эти углы являются накрест лежащими при параллельных прямых \( AB \) и \( CD \) и секущей \( AC \).
Однако, чтобы применить первый признак равенства, угол должен быть *между* двумя равными сторонами. В \( \triangle ABC \) угол \( \angle BAC \) лежит между сторонами \( AB \) и \( AC \). В \( \triangle CDA \) угол \( \angle DCA \) лежит между сторонами \( CD \) и \( AC \).
Мы знаем, что \( AB = CD \) и \( BC = DA \). Угол \( \angle BAC \) не является углом между сторонами \( AB \) и \( BC \). Угол \( \angle DCA \) не является углом между сторонами \( CD \) и \( DA \).
Если бы мы использовали стороны \( AB \) и \( AC \), то в другом треугольнике должны были бы быть равны стороны \( CD \) и \( AC \), и угол между ними.
В данном случае, мы имеем:
\( AB = CD \)
\( AC \) - общая сторона.
\( \angle BAC = \angle DCA \) (накрест лежащие углы).
Это второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), если бы углы были прилежащими к стороне \( AC \). Но здесь углы прилежат к сторонам \( AB \) и \( CD \) соответственно.
Давайте посмотрим на углы, которые *между* равными сторонами.
В \( \triangle ABC \) стороны \( AB \) и \( BC \). Угол между ними \( \angle ABC \).
В \( \triangle CDA \) стороны \( CD \) и \( DA \). Угол между ними \( \angle CDA \).
Мы знаем, что в параллелограмме противоположные углы равны, то есть \( \angle ABC = \angle CDA \).
Также мы знаем, что \( AB = CD \) и \( BC = DA \).
Значит, \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \) равны по двум сторонам и углу между ними (сторона \( AB \), сторона \( BC \), угол \( \angle ABC \) и сторона \( CD \), сторона \( DA \), угол \( \angle CDA \)).
Таким образом, треугольники в фигуре 2 равны по первому признаку.
Фигура 3
Здесь изображены два треугольника, имеющие общую сторону. Давайте обозначим вершины. Пусть верхняя вершина будет \( A \), нижние боковые \( B \) и \( C \), а точка на основании \( D \). Тогда у нас есть \( \triangle ABD \) и \( \triangle ACD \).
По условию (отметкам на сторонах и углах):
Сторона \( AB \) равна стороне \( AC \) (одна черточка).
Сторона \( BD \) равна стороне \( CD \) (две черточки).
Угол \( \angle ADB \) равен углу \( \angle ADC \) (отмечены одной дугой).
Однако, чтобы применить первый признак равенства, угол должен быть *между* двумя равными сторонами.
В \( \triangle ABD \) стороны \( AB \) и \( BD \). Угол между ними \( \angle ABD \).
В \( \triangle ACD \) стороны \( AC \) и \( CD \). Угол между ними \( \angle ACD \).
Углы \( \angle ADB \) и \( \angle ADC \) не являются углами между сторонами \( AB \) и \( BD \), или \( AC \) и \( CD \).
Поэтому, на основании данных отметок, мы не можем утверждать, что треугольники равны по первому признаку.
Если бы углы \( \angle ABD \) и \( \angle ACD \) были равны, тогда да. Или если бы \( AD \) была общей стороной, и \( AB=AC \), \( \angle BAD = \angle CAD \), тогда тоже да.
В данном случае, у нас есть две стороны и угол, но угол не между этими сторонами.
Значит, треугольники в фигуре 3 не равны по первому признаку.
Фигура 4
Здесь изображен параллелограмм, разделенный диагональю на два треугольника. Давайте обозначим вершины параллелограмма как \( ABCD \), а диагональ как \( AC \). Тогда у нас есть \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \).
По условию (отметкам на сторонах):
Сторона \( AB \) равна стороне \( CD \) (две черточки).
Сторона \( BC \) равна стороне \( DA \) (одна черточка).
Сторона \( AC \) - общая для обоих треугольников.
Это третий признак равенства треугольников (по трем сторонам).
Нам нужно найти равенство по двум сторонам и углу между ними.
В параллелограмме противоположные стороны равны: \( AB = CD \) и \( BC = DA \).
Также в параллелограмме противоположные углы равны: \( \angle ABC = \angle CDA \).
Значит, \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \) равны по двум сторонам и углу между ними (сторона \( AB \), сторона \( BC \), угол \( \angle ABC \) и сторона \( CD \), сторона \( DA \), угол \( \angle CDA \)).
Таким образом, треугольники в фигуре 4 равны по первому признаку.
Фигура 5
Здесь изображены два треугольника, имеющие общую сторону. Давайте обозначим вершины. Пусть верхняя вершина будет \( A \), нижние боковые \( B \) и \( C \), а точка на основании \( D \). Тогда у нас есть \( \triangle ABD \) и \( \triangle ACD \).
По условию (отметкам на сторонах и углах):
Сторона \( AB \) равна стороне \( AC \) (одна черточка).
Сторона \( BD \) равна стороне \( CD \) (две черточки).
Угол \( \angle ABD \) равен углу \( \angle ACD \) (отмечены одной дугой).
Опять же, чтобы применить первый признак равенства, угол должен быть *между* двумя равными сторонами.
В \( \triangle ABD \) стороны \( AB \) и \( BD \). Угол между ними \( \angle ABD \).
В \( \triangle ACD \) стороны \( AC \) и \( CD \). Угол между ними \( \angle ACD \).
Мы видим, что \( AB = AC \), \( BD = CD \), и угол \( \angle ABD \) равен углу \( \angle ACD \).
Но угол \( \angle ABD \) не является углом между сторонами \( AB \) и \( BD \). Он прилежит к стороне \( AB \) и \( BD \).
Это не первый признак равенства. Это случай, когда две стороны и угол, *не заключенный* между ними, равны. В общем случае, этого недостаточно для равенства треугольников.
Например, рассмотрим треугольник со сторонами 5, 6 и углом 30 градусов напротив стороны 6. И другой треугольник со сторонами 5, 6 и углом 30 градусов напротив стороны 6. Эти треугольники могут быть не равны.
Значит, треугольники в фигуре 5 не равны по первому признаку.
Итог
Треугольники, которые равны по двум сторонам и углу между ними, это:
* Фигура 1
* Фигура 2
* Фигура 4
Ваш ответ "1235" был неверным, потому что фигуры 3 и 5 не подходят под первый признак равенства треугольников.
Ответ для тетради:
Задача: Укажите треугольники, которые равны по двум сторонам и углу между ними.
Решение:
Для того чтобы два треугольника были равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников), необходимо, чтобы две стороны одного треугольника и угол, заключенный между ними, были соответственно равны двум сторонам другого треугольника и углу, заключенному между ними.
Рассмотрим каждую фигуру:
1. Фигура 1:
Здесь изображены два треугольника, которые пересекаются.
Пусть вершины верхнего треугольника будут \( A, B, C \), а нижнего \( D, E, C \), где \( C \) - точка пересечения.
По отметкам на рисунке:
Сторона \( AC \) равна стороне \( DC \).
Сторона \( BC \) равна стороне \( EC \).
Углы \( \angle ACB \) и \( \angle DCE \) являются вертикальными, а вертикальные углы всегда равны.
Таким образом, в \( \triangle ABC \) и \( \triangle DEC \) две стороны (\( AC \) и \( BC \), \( DC \) и \( EC \)) и угол между ними (\( \angle ACB \) и \( \angle DCE \)) соответственно равны.
Следовательно, треугольники в фигуре 1 равны по первому признаку.
2. Фигура 2:
Здесь изображен параллелограмм, разделенный диагональю на два треугольника.
Пусть вершины параллелограмма будут \( A, B, C, D \), а диагональ \( AC \). Тогда у нас есть \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \).
По свойствам параллелограмма:
Противоположные стороны равны: \( AB = CD \) и \( BC = DA \).
Противоположные углы равны: \( \angle ABC = \angle CDA \).
Таким образом, в \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \) две стороны (\( AB \) и \( BC \), \( CD \) и \( DA \)) и угол между ними (\( \angle ABC \) и \( \angle CDA \)) соответственно равны.
Следовательно, треугольники в фигуре 2 равны по первому признаку.
3. Фигура 3:
Здесь изображены два треугольника, имеющие общую сторону.
По отметкам на рисунке:
Сторона \( AB \) равна стороне \( AC \).
Сторона \( BD \) равна стороне \( CD \).
Угол \( \angle ADB \) равен углу \( \angle ADC \).
Однако, угол \( \angle ADB \) (или \( \angle ADC \)) не является углом, заключенным между сторонами \( AB \) и \( BD \) (или \( AC \) и \( CD \)). Угол, заключенный между сторонами \( AB \) и \( BD \), это \( \angle ABD \).
Поэтому, на основании данных отметок, мы не можем утверждать, что треугольники в фигуре 3 равны по первому признаку.
4. Фигура 4:
Здесь также изображен параллелограмм, разделенный диагональю на два треугольника.
Пусть вершины параллелограмма будут \( A, B, C, D \), а диагональ \( AC \). Тогда у нас есть \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \).
По свойствам параллелограмма:
Противоположные стороны равны: \( AB = CD \) и \( BC = DA \).
Противоположные углы равны: \( \angle ABC = \angle CDA \).
Таким образом, в \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \) две стороны (\( AB \) и \( BC \), \( CD \) и \( DA \)) и угол между ними (\( \angle ABC \) и \( \angle CDA \)) соответственно равны.
Следовательно, треугольники в фигуре 4 равны по первому признаку.
5. Фигура 5:
Здесь изображены два треугольника.
По отметкам на рисунке:
Сторона \( AB \) равна стороне \( AC \).
Сторона \( BD \) равна стороне \( CD \).
Угол \( \angle ABD \) равен углу \( \angle ACD \).
Однако, угол \( \angle ABD \) (или \( \angle ACD \)) не является углом, заключенным между сторонами \( AB \) и \( BD \) (или \( AC \) и \( CD \)).
Поэтому, на основании данных отметок, мы не можем утверждать, что треугольники в фигуре 5 равны по первому признаку.
Вывод: Треугольники, которые равны по двум сторонам и углу между ними, находятся в фигурах 1, 2 и 4.
Ответ: 1, 2, 4.
