Решение задач на одночлены в стандартном виде

Ниже представлено решение первых пяти заданий из раздела 1.16 "Вычислите". Для удобства записи в тетрадь каждое действие расписано подробно. Задание 1 \[ \frac{10^4}{25^2} = \frac{(2 \cdot 5)^4}{(5^2)^2} = \frac{2^4 \cdot 5^4}{5^4} = 2^4 = 16 \] Ответ: 16. Задание 2 \[ \frac{250^3}{125^3} = \left( \frac{250}{125} \right)^3 = 2^3 = 8 \] Ответ: 8. Задание 3 \[ \frac{12^{10}}{2^{22} \cdot 9^4} = \frac{(3 \cdot 2^2)^{10}}{2^{22} \cdot (3^2)^4} = \frac{3^{10} \cdot 2^{20}}{2^{22} \cdot 3^8} = \frac{3^{10-8}}{2^{22-20}} = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} = 2,25 \] Ответ: 2,25. Задание 4 \[ \frac{10^5}{(2^2)^3 \cdot 25^2} = \frac{(2 \cdot 5)^5}{2^6 \cdot (5^2)^2} = \frac{2^5 \cdot 5^5}{2^6 \cdot 5^4} = \frac{5^{5-4}}{2^{6-5}} = \frac{5}{2} = 2,5 \] Ответ: 2,5. Задание 5 \[ \frac{12^5}{4^2 \cdot 3^4} : \frac{10^{-4}}{8^{-2} \cdot 5^{-3}} \] Сначала упростим первую дробь: \[ \frac{(3 \cdot 4)^5}{4^2 \cdot 3^4} = \frac{3^5 \cdot 4^5}{4^2 \cdot 3^4} = 3^1 \cdot 4^3 = 3 \cdot 64 = 192 \] Теперь вторую часть (избавимся от отрицательных степеней, перевернув множители): \[ \frac{10^{-4}}{8^{-2} \cdot 5^{-3}} = \frac{8^2 \cdot 5^3}{10^4} = \frac{(2^3)^2 \cdot 5^3}{(2 \cdot 5)^4} = \frac{2^6 \cdot 5^3}{2^4 \cdot 5^4} = \frac{2^2}{5^1} = \frac{4}{5} = 0,8 \] Выполним деление: \[ 192 : 0,8 = 240 \] Ответ: 240.