Вариант 3. Из четырех отобранных тузов наугад вытаскивается две карты. События: \(A = \{\text{обе карты черной масти}\}\), \(B = \{\text{карты разного цвета}\}\). Построить множество элементарных исходов, выразить через эти исходы указанные события. Описать события \(AB\), \(A+B\), \(A \setminus B\), \(\overline{B}\).
Решение:
Сначала определим, какие тузы у нас есть. В колоде 4 туза:
- Туз пик (черная масть) - обозначим как Ч1
- Туз треф (черная масть) - обозначим как Ч2
- Туз червей (красная масть) - обозначим как К1
- Туз бубен (красная масть) - обозначим как К2
Из этих четырех тузов наугад вытаскивается две карты. Порядок вытаскивания не важен, поэтому это будут сочетания.
1. Построим множество элементарных исходов \(\Omega\).
Элементарные исходы – это все возможные пары карт, которые можно вытащить. Используем обозначения Ч1, Ч2, К1, К2.
Всего возможных пар: \[C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6\]
Множество элементарных исходов \(\Omega\):
\[\Omega = \{\{Ч1, Ч2\}, \{Ч1, К1\}, \{Ч1, К2\}, \{Ч2, К1\}, \{Ч2, К2\}, \{К1, К2\}\}\]2. Выразим через эти исходы указанные события.
Событие \(A = \{\text{обе карты черной масти}\}\)
Из наших тузов черные – это Ч1 и Ч2. Единственная пара, состоящая из двух черных тузов, это \(\{Ч1, Ч2\}\).
\[A = \{\{Ч1, Ч2\}\}\]Событие \(B = \{\text{карты разного цвета}\}\)
Это означает, что одна карта черная, а другая красная. Возможные пары:
- Ч1 с К1: \(\{Ч1, К1\}\)
- Ч1 с К2: \(\{Ч1, К2\}\)
- Ч2 с К1: \(\{Ч2, К1\}\)
- Ч2 с К2: \(\{Ч2, К2\}\)
3. Опишем события \(AB\), \(A+B\), \(A \setminus B\), \(\overline{B}\).
Событие \(AB\) (пересечение событий \(A\) и \(B\))
Событие \(AB\) означает, что произошли оба события: и \(A\), и \(B\). То есть, обе карты черной масти И карты разного цвета. Это невозможно, так как если обе карты черной масти, они не могут быть разного цвета.
Математически, это элементы, которые есть и в \(A\), и в \(B\).
\[A = \{\{Ч1, Ч2\}\}\] \[B = \{\{Ч1, К1\}, \{Ч1, К2\}, \{Ч2, К1\}, \{Ч2, К2\}\}\]У этих множеств нет общих элементов.
\[AB = A \cap B = \emptyset\]Событие \(AB\) – это невозможное событие.
Событие \(A+B\) (объединение событий \(A\) и \(B\))
Событие \(A+B\) означает, что произошло хотя бы одно из событий: либо \(A\), либо \(B\), либо оба. То есть, либо обе карты черной масти, либо карты разного цвета.
Математически, это все элементы, которые есть в \(A\), или в \(B\), или в обоих.
\[A+B = A \cup B = \{\{Ч1, Ч2\}\} \cup \{\{Ч1, К1\}, \{Ч1, К2\}, \{Ч2, К1\}, \{Ч2, К2\}\}\] \[A+B = \{\{Ч1, Ч2\}, \{Ч1, К1\}, \{Ч1, К2\}, \{Ч2, К1\}, \{Ч2, К2\}\}\]Событие \(A+B\) – это событие, при котором вытащены либо две черные карты, либо одна черная и одна красная.
Событие \(A \setminus B\) (разность событий \(A\) и \(B\))
Событие \(A \setminus B\) означает, что произошло событие \(A\), но не произошло событие \(B\). То есть, обе карты черной масти, но при этом карты НЕ разного цвета.
Математически, это элементы, которые есть в \(A\), но которых нет в \(B\).
\[A = \{\{Ч1, Ч2\}\}\] \[B = \{\{Ч1, К1\}, \{Ч1, К2\}, \{Ч2, К1\}, \{Ч2, К2\}\}\]Элемент \(\{Ч1, Ч2\}\) есть в \(A\), но его нет в \(B\).
\[A \setminus B = \{\{Ч1, Ч2\}\}\]Событие \(A \setminus B\) – это то же самое, что и событие \(A\).
Событие \(\overline{B}\) (дополнение к событию \(B\))
Событие \(\overline{B}\) означает, что событие \(B\) не произошло. То есть, карты НЕ разного цвета. Это значит, что обе карты одного цвета.
Математически, это все элементы из \(\Omega\), которых нет в \(B\).
\[\Omega = \{\{Ч1, Ч2\}, \{Ч1, К1\}, \{Ч1, К2\}, \{Ч2, К1\}, \{Ч2, К2\}, \{К1, К2\}\}\] \[B = \{\{Ч1, К1\}, \{Ч1, К2\}, \{Ч2, К1\}, \{Ч2, К2\}\}\]Элементы из \(\Omega\), которых нет в \(B\), это \(\{Ч1, Ч2\}\) и \(\{К1, К2\}\).
\[\overline{B} = \{\{Ч1, Ч2\}, \{К1, К2\}\}\]Событие \(\overline{B}\) – это событие, при котором вытащены две карты одного цвета (либо обе черные, либо обе красные).